Mastering Karnaugh Maps (K-Maps) for GCE A/L
Welcome! If you are finding Boolean Algebra confusing, K-Maps are your best friend. They turn complex algebra into a visual puzzle. Here is everything you need to know, step-by-step.
1. What is the Purpose?
The main purpose of a K-Map is to simplify Boolean equations. Instead of using long algebraic laws (like De Morgan's or Distributive laws), we use a visual grid to group terms together and eliminate variables.
2. Truth Tables vs. K-Maps
- Normal Truth Tables (1D): These are lists. You read them from top to bottom. They show every possible input combination.
- K-Maps (2D): These are grids (tables). We take that 1D list and "fold" it into a 2D shape. This allows us to see patterns (neighbors) that are hard to see in a list.
3. SOP vs. POS
There are two ways to write equations, and two ways to use K-Maps:
- SOP (Sum of Products): You look for Minterms. In the K-Map, you place 1s and group the 1s.
- POS (Product of Sums): You look for Maxterms. In the K-Map, you place 0s and group the 0s.
Note: For this guide, we will focus on SOP (Grouping 1s) as it is the most common method for beginners.
4. Grid Sizes (Dimensions)
The size of your K-Map depends on the number of variables (inputs). For 3 Variables (x, y, z):
Total combinations = $2^3 = 8$.
You can arrange these 8 cells in different 2D shapes:
- 1 row × 8 columns (1x8)
- 8 rows × 1 column (8x1)
- 2 rows × 4 columns (2x4) (Most Common for 3 variables)
- 4 rows × 2 columns (4x2)
5. The Secret Weapon: Gray Code
This is the most important rule in K-Maps. When labeling the rows and columns, you cannot use normal binary counting (00, 01, 10, 11). You must use Gray Code.
Rule: Between any two adjacent numbers, only one bit (value) changes.
Sequence for 2 bits: 00 → 01 → 11 → 10
- 00 to 01: Only the right bit changed.
- 01 to 11: Only the left bit changed.
- 11 to 10: Only the right bit changed.
If you do not use Gray Code, your K-Map will not work!
6. Step-by-Step Example
Let's solve this function together:
F(x,y,z) = (x'y'z) + (x'yz) + (xy'z) + (xyz') + (xyz)
Step 1: Convert to Binary (Minterms)
Look at each term. If a variable has a bar (like x'), it is 0. If it has no bar (like x), it is 1.
x'y'z → 0 0 1 (Decimal 1)x'yz → 0 1 1 (Decimal 3)xy'z → 1 0 1 (Decimal 5)xyz' → 1 1 0 (Decimal 6)xyz → 1 1 1 (Decimal 7)
Step 2: Create the Truth Table
We list all 8 combinations (0 to 7). We put a 1 in the Output column if the number matches our list above (1, 3, 5, 6, 7). Otherwise, put a 0.
| Decimal |
x |
y |
z |
Output (F) |
Note |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | From x'y'z |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 | From x'yz |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 | From xy'z |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 | From xyz' |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | From xyz |
Step 3: Draw the K-Map Grid
We will use a 2 rows × 4 columns grid.
- Rows (x): 0, 1
- Columns (yz): 00, 01, 11, 10 (Remember Gray Code!)
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
We placed 1s in cells 1, 3, 5, 6, and 7 based on our Truth Table.
Step 4: Grouping (The Magic Step)
Rules for grouping:
- Groups must contain $2^n$ cells (1, 2, 4, 8, 16...).
- Groups must be rectangular or square.
- Try to make groups as large as possible.
- Every 1 must be inside at least one group.
- Groups can overlap.
Let's group our example:
- Group A (Red): Look at the middle two columns (01 and 11). We have four 1s forming a square (Cells 1, 3, 5, 7).
Why? In this group, x changes (0 to 1) and y changes (0 to 1). But z is always 1.
Result: z
- Group B (Blue): Look at the bottom right corner. We have two 1s (Cells 6 and 7).
Why? In this group, z changes (0 to 1). But x is always 1 and y is always 1.
Result: xy
Step 5: Final Equation
Combine the results of the groups with an OR (+) sign.
F = z + xy
This is much simpler than the original long equation!
7. How to do POS (Product of Sums)
If the question asks for POS, or gives you Maxterms (0s):
- Fill the K-Map with 0s instead of 1s (wherever the function is false).
- Group the 0s together.
- When writing the equation:
- If a variable is 0 in the group, write it normally (e.g., A).
- If a variable is 1 in the group, write it with a bar (e.g., A').
- Combine variables with OR (+), and combine groups with AND (·).
K-Map Exercises: SOP & POS
Now that we understand the basics, let's solve specific problems step-by-step for both Sum of Products (SOP) and Product of Sums (POS).
Exercise 1: Sum of Products (SOP)
Goal: Find the simplified equation by grouping 1s.
Problem:
F = x'y'z + x'yz + xy'z + xyz' + xyz
Step 1: Identify Minterms (Where F = 1)
Convert each term to binary. Remember: No bar = 1, Bar = 0.
x'y'z → 001 → m1x'yz → 011 → m3xy'z → 101 → m5xyz' → 110 → m6xyz → 111 → m7
Notation: We can write this function as F(x,y,z) = ∑m(1, 3, 5, 6, 7)
Step 2: Fill the K-Map
We use a 2x4 grid. Place a 1 in cells 1, 3, 5, 6, 7. Place 0 everywhere else.
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Step 3: Grouping
We look for rectangles of 1s.
- Group 1 (Quad): The four 1s in the middle columns (Cells 1, 3, 5, 7).
- x changes (0→1), y changes (0→1).
- z stays 1.
- Term:
z
- Group 2 (Pair): The two 1s on the bottom right (Cells 6, 7).
- z changes (0→1).
- x stays 1, y stays 1.
- Term:
xy
Final SOP Answer:
F = z + xy
Exercise 2: Product of Sums (POS)
Goal: Find the simplified equation by grouping 0s.
In POS, we look at the Maxterms.
Rule: Uncomplemented variable = 0, Complemented variable = 1.
Problem:
F = (x+y+z') · (x+y'+z') · (x'+y+z') · (x'+y'+z')
Step 1: Identify Maxterms (Where F = 0)
Convert the sums to binary to find which cells get a 0.
(x+y+z') → 001 → M1(x+y'+z') → 011 → M3(x'+y+z') → 101 → M5(x'+y'+z') → 111 → M7
Notation: F(x,y,z) = ∏M(1, 3, 5, 7)
Step 2: Fill the K-Map with 0s
Place 0 in cells 1, 3, 5, 7. Place 1 in the remaining cells (0, 2, 4, 6).
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Step 3: Grouping the 0s
We see a vertical block of four 0s in the middle columns (1, 3, 5, 7).
- x changes (0→1).
- y changes (0→1).
- z' is constant (which means z=1 in binary, so we write z' in the answer).
Note for POS: If the constant value in the group is 1, write the variable with a bar. If 0, write without a bar.
Final POS Answer:
F = z'
4-Variable Notation Example
For 4 variables (A, B, C, D), the grid size is 4x4 (16 cells). The logic remains the same.
Example: F(A,B,C,D) = ∏M(3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13)
This is a POS equation because it uses Capital M (Maxterms).
- Draw a 4x4 Grid.
- Label rows AB (00, 01, 11, 10) and columns CD (00, 01, 11, 10).
- Find cells 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13 and put 0s there.
- Put 1s in the remaining cells.
- Group the 0s to find the POS equation.
Quick Reference Table
| Feature |
SOP (Sum of Products) |
POS (Product of Sums) |
| Symbol |
∑ m (Small m) |
∏ M (Capital M) |
| K-Map Value |
Fill with 1s |
Fill with 0s |
| Grouping |
Group the 1s |
Group the 0s |
| Variable Rule |
1 = Variable, 0 = Bar |
0 = Variable, 1 = Bar |
Advanced K-Map Exercises & Solutions
Here are detailed step-by-step solutions for the specific Boolean functions you requested. We will cover both SOP (Sum of Products) and POS (Product of Sums) methods.
Problem 1: SOP Simplification
Function:
F(x,y,z) = x'z + xy'z + xyz' + xyz
Step 1: Expand to Minterms
Some terms are missing variables. We need to expand them to find the exact minterms (1s).
x'z: Missing y. Expands to x'y'z (001, m1) and x'yz (011, m3).xy'z: Complete. (101, m5).xyz': Complete. (110, m6).xyz: Complete. (111, m7).
Minterms: 1, 3, 5, 6, 7.
Step 2: K-Map Construction
Place 1s in cells 1, 3, 5, 6, 7.
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Step 3: Grouping
- Quad (1, 3, 5, 7): The four 1s in the middle columns.
- x changes, y changes. z is constant 1.
- Term:
z
- Pair (6, 7): The two 1s in the bottom right.
- z changes. x is 1, y is 1.
- Term:
xy
Final Answer:
F = z + xy
Problem 2: SOP with Absorption
Function:
F(x,y,z) = x + xy'z + xyz' + xyz
Step 1: Analyze Terms
This problem has a trick. The term x covers all cases where x is 1.
x covers: 100 (m4), 101 (m5), 110 (m6), 111 (m7).- The other terms (
xy'z, xyz', xyz) are already included inside x.
Effective Minterms: 4, 5, 6, 7.
Step 2: K-Map Construction
Place 1s in the entire bottom row (where x=1).
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Step 3: Grouping
We have one big group of four 1s (Quad) in the bottom row.
- y changes, z changes.
- x is constant 1.
Final Answer:
F = x
Problem 3: POS Simplification
Function:
F = (x+y+z') · (x+y'+z') · (x'+y+z') · (x'+y'+z')
Step 1: Identify Maxterms (0s)
Convert sums to binary. Remember: No Bar = 0, Bar = 1.
(x+y+z') → 001 → M1(x+y'+z') → 011 → M3(x'+y+z') → 101 → M5(x'+y'+z') → 111 → M7
Maxterms: 1, 3, 5, 7.
Step 2: K-Map Construction
Place 0s in cells 1, 3, 5, 7. Place 1s elsewhere.
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Step 3: Grouping the 0s
We have a vertical Quad of 0s in the middle columns (1, 3, 5, 7).
- x changes, y changes.
- z' is constant (In binary, z=1. For POS, 1 becomes z').
Final Answer:
F = z'
Problem 4: SOP from Minterm Notation
Function:
F(x,y,z) = ∑m(1, 2, 3, 5, 7)
Step 1: K-Map Construction
Place 1s in cells 1, 2, 3, 5, 7.
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Step 2: Grouping
- Quad (1, 3, 5, 7): Middle columns.
- Pair (2, 3): Top row, right side.
- x is 0, y is 1. z changes.
- Term:
x'y
Final Answer:
F = z + x'y
Problem 5: POS from Maxterm Notation (4 Variables)
Function:
F(A,B,C,D) = ∏M(3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13)
This is a 4-variable map (4x4 Grid). We group the 0s.
Step 1: K-Map Construction
Place 0s in cells: 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13.
| AB \ CD |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 00 |
1 |
1 |
0 |
1 |
| 01 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 11 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| 10 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Step 2: Grouping the 0s
We need to cover all 0s with the fewest groups possible.
- Group 1 (Pair 3, 7): Cells 0011 and 0111.
- A=0, C=1, D=1.
- Term:
(A + C' + D')
- Group 2 (Pair 5, 13): Cells 0101 and 1101.
- B=1, C=0, D=1.
- Term:
(B' + C + D')
- Group 3 (Pair 8, 12): Cells 1000 and 1100.
- A=1, C=0, D=0.
- Term:
(A' + C + D)
- Group 4 (Pair 10, 11): Cells 1010 and 1011.
- A=1, B=0, C=1.
- Term:
(A' + B + C')
Final Answer:
F = (A + C' + D') · (B' + C + D') · (A' + C + D) · (A' + B + C')
GCE A/L เฎ்เฎாเฎฉ Karnaugh Maps (K-Maps) เฎเฎฑ்เฎฑเฎฒ்
เฎชூเฎฒிเฎฏเฎฉ் เฎเฎฏเฎฑ்เฎเฎฃிเฎคเฎฎ் (Boolean Algebra) เฎுเฎดเฎช்เฎชเฎฎாเฎ เฎเฎฐுเฎจ்เฎคாเฎฒ், K-Maps เฎเฎ்เฎเฎณுเฎ்เฎு เฎเฎคเฎตுเฎฎ். เฎเฎคு เฎிเฎ்เฎเฎฒாเฎฉ เฎเฎฃிเฎคเฎค்เฎคை เฎเฎฐு เฎாเฎ்เฎி เฎชுเฎคிเฎฐ் เฎชோเฎฒ เฎฎாเฎฑ்เฎฑுเฎฎ். เฎเฎ்เฎே เฎเฎต்เฎตொเฎฐு เฎชเฎிเฎฏாเฎ เฎจீเฎ்เฎเฎณ் เฎคெเฎฐிเฎจ்เฎคு เฎொเฎณ்เฎณ เฎตேเฎฃ்เฎிเฎฏ เฎ
เฎฉைเฎค்เฎคுเฎฎ் เฎเฎณ்เฎณเฎฉ.
1. เฎเฎคเฎฉ் เฎจோเฎ்เฎเฎฎ் เฎเฎฉ்เฎฉ?
K-Map เฎเฎฉ் เฎฎுเฎ்เฎிเฎฏ เฎจோเฎ்เฎเฎฎ் เฎชூเฎฒிเฎฏเฎฉ் เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎுเฎเฎณை เฎுเฎฐுเฎ்เฎுเฎตเฎคாเฎுเฎฎ் (Simplify Boolean equations). เฎจீเฎฃ்เฎ เฎเฎฏเฎฑ்เฎเฎฃிเฎค เฎตிเฎคிเฎเฎณைเฎช் (De Morgan's or Distributive laws) เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคுเฎตเฎคเฎฑ்เฎுเฎช் เฎชเฎคிเฎฒாเฎ, เฎเฎฐு เฎாเฎ்เฎி เฎเฎ்เฎเฎค்เฎคைเฎช் (visual grid) เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคி เฎเฎฑுเฎช்เฎชுเฎเฎณை เฎเฎฉ்เฎฑிเฎฃைเฎค்เฎคு เฎฎாเฎฑிเฎเฎณை เฎจீเฎ்เฎுเฎிเฎฑோเฎฎ்.
2. เฎฎெเฎฏ்เฎฎเฎคிเฎช்เฎชு เฎ
เฎ்เฎเฎตเฎฃை vs K-Maps
- เฎாเฎคாเฎฐเฎฃ เฎฎெเฎฏ்เฎฎเฎคிเฎช்เฎชு เฎ
เฎ்เฎเฎตเฎฃை (1D - Truth Tables): เฎเฎตை เฎชเฎ்เฎிเฎฏเฎฒ்เฎเฎณ். เฎเฎตเฎฑ்เฎฑை เฎฎேเฎฒிเฎฐுเฎจ்เฎคு เฎீเฎดாเฎ เฎตாเฎிเฎ்เฎ เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ். เฎเฎตை เฎாเฎค்เฎคிเฎฏเฎฎாเฎฉ เฎเฎณ்เฎณீเฎுเฎเฎณிเฎฉ் เฎเฎฒเฎตைเฎเฎณைเฎ் เฎாเฎ்เฎுเฎிเฎฉ்เฎฑเฎฉ.
- K-Maps (2D): เฎเฎตை เฎ
เฎ்เฎเฎตเฎฃைเฎเฎณ் (Grids). เฎ
เฎจ்เฎค 1D เฎชเฎ்เฎிเฎฏเฎฒை เฎเฎுเฎค்เฎคு 2D เฎตเฎிเฎตเฎฎாเฎ "เฎฎเฎிเฎ்เฎிเฎฑோเฎฎ்". เฎเฎคு เฎชเฎ்เฎிเฎฏเฎฒிเฎฒ் เฎชாเฎฐ்เฎ்เฎ เฎเฎிเฎฉเฎฎாเฎฉ เฎตเฎிเฎตเฎ்เฎเฎณை (patterns) เฎชாเฎฐ்เฎ்เฎ เฎเฎคเฎตுเฎிเฎฑเฎคு.
3. SOP vs POS
เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎுเฎเฎณை เฎเฎดுเฎค เฎเฎฐเฎฃ்เฎு เฎตเฎดிเฎเฎณ் เฎเฎณ்เฎณเฎฉ, K-Maps เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคเฎตுเฎฎ் เฎเฎฐเฎฃ்เฎு เฎตเฎดிเฎเฎณ் เฎเฎณ்เฎณเฎฉ:
- SOP (Sum of Products): เฎจீเฎ்เฎเฎณ் Minterms เฎเฎณைเฎค் เฎคேเฎுเฎிเฎฑீเฎฐ்เฎเฎณ். K-Map เฎเฎฒ், เฎจீเฎ்เฎเฎณ் 1s เฎ เฎตைเฎค்เฎคு, 1s เฎ เฎคொเฎுเฎ்เฎ เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ் (Group the 1s).
- POS (Product of Sums): เฎจீเฎ்เฎเฎณ் Maxterms เฎเฎณைเฎค் เฎคேเฎுเฎிเฎฑீเฎฐ்เฎเฎณ். K-Map เฎเฎฒ், เฎจீเฎ்เฎเฎณ் 0s เฎ เฎตைเฎค்เฎคு, 0s เฎ เฎคொเฎுเฎ்เฎ เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ் (Group the 0s).
เฎுเฎฑிเฎช்เฎชு: เฎเฎจ்เฎค เฎตเฎดிเฎாเฎ்เฎிเฎฏிเฎฒ், เฎคொเฎเฎ்เฎ เฎจிเฎฒை เฎฎாเฎฃเฎตเฎฐ்เฎเฎณுเฎ்เฎு เฎฎிเฎเฎตுเฎฎ் เฎชொเฎคுเฎตாเฎฉ เฎฎுเฎฑைเฎฏாเฎฉ SOP (1s เฎ เฎคொเฎுเฎค்เฎคเฎฒ்) เฎฎீเฎคு เฎเฎตเฎฉเฎฎ் เฎெเฎฒுเฎค்เฎคுเฎตோเฎฎ்.
4. เฎเฎ்เฎ เฎ
เฎณเฎตுเฎเฎณ் (Dimensions)
เฎเฎ்เฎเฎณ் K-Map เฎเฎฉ் เฎ
เฎณเฎตு เฎฎாเฎฑிเฎเฎณிเฎฉ் (inputs) เฎเฎฃ்เฎฃிเฎ்เฎைเฎฏைเฎช் เฎชொเฎฑுเฎค்เฎคเฎคு. 3 เฎฎாเฎฑிเฎเฎณ் (x, y, z) เฎ்เฎு:
เฎฎொเฎค்เฎค เฎเฎฒเฎตைเฎเฎณ் = $2^3 = 8$.
เฎเฎจ்เฎค 8 เฎெเฎฒ்เฎเฎณை เฎตெเฎต்เฎตேเฎฑு 2D เฎตเฎிเฎตเฎ்เฎเฎณிเฎฒ் เฎ
เฎฎைเฎ்เฎเฎฒாเฎฎ்:
- 1 เฎตเฎฐிเฎை × 8 เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณ் (1x8)
- 8 เฎตเฎฐிเฎைเฎเฎณ் × 1 เฎจிเฎฐเฎฒ் (8x1)
- 2 เฎตเฎฐிเฎைเฎเฎณ் × 4 เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณ் (2x4) (3 เฎฎாเฎฑிเฎเฎณுเฎ்เฎு เฎเฎคுเฎตே เฎฎிเฎเฎตுเฎฎ் เฎชொเฎคுเฎตாเฎฉเฎคு)
- 4 เฎตเฎฐிเฎைเฎเฎณ் × 2 เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณ் (4x2)
5. เฎเฎฐเฎเฎிเฎฏ เฎเฎฏுเฎคเฎฎ்: Gray Code
เฎเฎคு K-Maps เฎเฎฒ் เฎฎிเฎ เฎฎுเฎ்เฎிเฎฏเฎฎாเฎฉ เฎตிเฎคிเฎฏாเฎுเฎฎ். เฎตเฎฐிเฎைเฎเฎณ் เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณுเฎ்เฎு เฎชெเฎฏเฎฐிเฎுเฎฎ்เฎชோเฎคு, เฎாเฎคாเฎฐเฎฃ เฎเฎฐுเฎฎ เฎเฎฃ்เฎฃிเฎ்เฎைเฎฏைเฎช் (00, 01, 10, 11) เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคเฎ்เฎூเฎாเฎคு. เฎจீเฎ்เฎเฎณ் Gray Code เฎเฎช் เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎค เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ்.
เฎตிเฎคி: เฎเฎจ்เฎค เฎเฎฐเฎฃ்เฎு เฎ
เฎுเฎค்เฎคเฎுเฎค்เฎค เฎเฎฃ்เฎเฎณுเฎ்เฎுเฎฎ் เฎเฎைเฎฏிเฎฒ், เฎเฎฐே เฎเฎฐு เฎชிเฎ் เฎฎเฎ்เฎுเฎฎே (value) เฎฎாเฎฑ เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ்.
2 เฎชிเฎ்เฎเฎณுเฎ்เฎாเฎฉ เฎตเฎฐிเฎை: 00 → 01 → 11 → 10
- 00 เฎฎுเฎคเฎฒ் 01 เฎตเฎฐை: เฎตเฎฒเฎคு เฎชிเฎ் เฎฎเฎ்เฎுเฎฎ் เฎฎாเฎฑிเฎฏเฎคு.
- 01 เฎฎுเฎคเฎฒ் 11 เฎตเฎฐை: เฎเฎเฎคு เฎชிเฎ் เฎฎเฎ்เฎுเฎฎ் เฎฎாเฎฑிเฎฏเฎคு.
- 11 เฎฎுเฎคเฎฒ் 10 เฎตเฎฐை: เฎตเฎฒเฎคு เฎชிเฎ் เฎฎเฎ்เฎுเฎฎ் เฎฎாเฎฑிเฎฏเฎคு.
เฎจீเฎ்เฎเฎณ் Gray Code เฎเฎช் เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคாเฎตிเฎ்เฎாเฎฒ், เฎเฎ்เฎเฎณ் K-Map เฎตேเฎฒை เฎெเฎฏ்เฎฏாเฎคு!
6. เฎชเฎிเฎช்เฎชเฎிเฎฏாเฎฉ เฎเฎคாเฎฐเฎฃเฎฎ்
เฎเฎจ்เฎคเฎ் เฎாเฎฐ்เฎชை (function) เฎเฎฉ்เฎฑாเฎเฎค் เฎคீเฎฐ்เฎช்เฎชோเฎฎ்:
F(x,y,z) = (x'y'z) + (x'yz) + (xy'z) + (xyz') + (xyz)
เฎชเฎி 1: เฎเฎฐுเฎฎเฎค்เฎคிเฎฑ்เฎு เฎฎாเฎฑ்เฎฑுเฎคเฎฒ் (Minterms)
เฎเฎต்เฎตொเฎฐு เฎเฎฑுเฎช்เฎชைเฎฏுเฎฎ் เฎชாเฎฐுเฎ்เฎเฎณ். เฎเฎฐு เฎฎாเฎฑிเฎ்เฎு เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎு เฎเฎฐுเฎจ்เฎคாเฎฒ் (x' เฎชோเฎฉ்เฎฑเฎคு), เฎ
เฎคு 0. เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎு เฎเฎฒ்เฎฒைเฎฏெเฎฉ்เฎฑாเฎฒ் (x เฎชோเฎฉ்เฎฑเฎคு), เฎ
เฎคு 1.
x'y'z → 0 0 1 (เฎชเฎคிเฎฉ்เฎฎเฎฎ் 1)x'yz → 0 1 1 (เฎชเฎคிเฎฉ்เฎฎเฎฎ் 3)xy'z → 1 0 1 (เฎชเฎคிเฎฉ்เฎฎเฎฎ் 5)xyz' → 1 1 0 (เฎชเฎคிเฎฉ்เฎฎเฎฎ் 6)xyz → 1 1 1 (เฎชเฎคிเฎฉ்เฎฎเฎฎ் 7)
เฎชเฎி 2: เฎฎெเฎฏ்เฎฎเฎคிเฎช்เฎชு เฎ
เฎ்เฎเฎตเฎฃைเฎฏை เฎเฎฐுเฎตாเฎ்เฎுเฎคเฎฒ் (Truth Table)
เฎจாเฎฎ் เฎ
เฎฉைเฎค்เฎคு 8 เฎเฎฒเฎตைเฎเฎณைเฎฏுเฎฎ் (0 เฎฎுเฎคเฎฒ் 7 เฎตเฎฐை) เฎชเฎ்เฎிเฎฏเฎฒிเฎுเฎிเฎฑோเฎฎ். เฎฎேเฎฒே เฎเฎณ்เฎณ เฎชเฎ்เฎிเฎฏเฎฒுเฎเฎฉ் (1, 3, 5, 6, 7) เฎเฎฃ் เฎชொเฎฐுเฎจ்เฎคிเฎฉாเฎฒ் เฎตெเฎณிเฎฏீเฎு เฎจிเฎฐเฎฒிเฎฒ் 1 เฎ เฎเฎுเฎிเฎฑோเฎฎ். เฎเฎฒ்เฎฒைเฎฏெเฎฉ்เฎฑாเฎฒ், 0 เฎ เฎเฎுเฎிเฎฑோเฎฎ்.
| เฎชเฎคிเฎฉ்เฎฎเฎฎ் (Decimal) |
x |
y |
z |
เฎตெเฎณிเฎฏீเฎு (F) |
เฎுเฎฑிเฎช்เฎชு |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | x'y'z เฎเฎฒிเฎฐுเฎจ்เฎคு |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 | x'yz เฎเฎฒிเฎฐுเฎจ்เฎคு |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 | xy'z เฎเฎฒிเฎฐுเฎจ்เฎคு |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 | xyz' เฎเฎฒிเฎฐுเฎจ்เฎคு |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | xyz เฎเฎฒிเฎฐுเฎจ்เฎคு |
เฎชเฎி 3: K-Map เฎเฎ்เฎเฎค்เฎคை เฎตเฎฐைเฎคเฎฒ்
เฎจாเฎฎ் 2 เฎตเฎฐிเฎைเฎเฎณ் × 4 เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณ் เฎเฎ்เฎเฎค்เฎคைเฎช் เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคுเฎตோเฎฎ்.
- เฎตเฎฐிเฎைเฎเฎณ் (x): 0, 1
- เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณ் (yz): 00, 01, 11, 10 (Gray Code เฎ เฎจிเฎฉைเฎตிเฎฒ் เฎொเฎณ்เฎ!)
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
เฎฎெเฎฏ்เฎฎเฎคிเฎช்เฎชு เฎ
เฎ்เฎเฎตเฎฃைเฎฏிเฎฉ் เฎ
เฎிเฎช்เฎชเฎைเฎฏிเฎฒ் 1, 3, 5, 6, เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் 7 เฎเฎிเฎฏ เฎெเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் 1s เฎ เฎเฎ்เฎுเฎณ்เฎณோเฎฎ்.
เฎชเฎி 4: เฎคொเฎுเฎค்เฎคเฎฒ் (Grouping - The Magic Step)
เฎคொเฎுเฎค்เฎคเฎฒுเฎ்เฎாเฎฉ เฎตிเฎคிเฎเฎณ்:
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชுเฎเฎณ் $2^n$ เฎெเฎฒ்เฎเฎณைเฎ் เฎொเฎฃ்เฎிเฎฐுเฎ்เฎ เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ் (1, 2, 4, 8, 16...).
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชுเฎเฎณ் เฎெเฎต்เฎตเฎเฎฎாเฎเฎตோ เฎ
เฎฒ்เฎฒเฎคு เฎเฎคுเฎฐเฎฎாเฎเฎตோ เฎเฎฐுเฎ்เฎ เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ்.
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชுเฎเฎณை เฎฎுเฎிเฎจ்เฎคเฎตเฎฐை เฎชெเฎฐிเฎฏเฎคாเฎ เฎเฎฐுเฎตாเฎ்เฎ เฎฎுเฎฏเฎฑ்เฎிเฎ்เฎเฎตுเฎฎ்.
- เฎเฎต்เฎตொเฎฐு 1 เฎเฎฎ் เฎுเฎฑைเฎจ்เฎคเฎชเฎ்เฎเฎฎ் เฎเฎฐு เฎคொเฎுเฎช்เฎชிเฎฑ்เฎுเฎณ் เฎเฎฐுเฎ்เฎ เฎตேเฎฃ்เฎுเฎฎ்.
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชுเฎเฎณ் เฎเฎฉ்เฎฑிเฎฉ் เฎฎேเฎฒ் เฎเฎฉ்เฎฑு เฎตเฎฐเฎฒாเฎฎ் (Overlap).
เฎจเฎฎเฎคு เฎเฎคாเฎฐเฎฃเฎค்เฎคை เฎคொเฎுเฎช்เฎชோเฎฎ்:
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชு A (เฎிเฎตเฎช்เฎชு): เฎจเฎுเฎตிเฎฒ் เฎเฎณ்เฎณ เฎเฎฐเฎฃ்เฎு เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณைเฎช் เฎชாเฎฐுเฎ்เฎเฎณ் (01 เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் 11). เฎจாเฎฉ்เฎு 1s เฎเฎคுเฎฐเฎฎாเฎ เฎเฎณ்เฎณเฎฉ (เฎெเฎฒ்เฎเฎณ் 1, 3, 5, 7).
เฎเฎฉ்? เฎเฎจ்เฎค เฎคொเฎுเฎช்เฎชிเฎฒ், x เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0 เฎฎுเฎคเฎฒ் 1) เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் y เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0 เฎฎுเฎคเฎฒ் 1). เฎเฎฉாเฎฒ் z เฎเฎช்เฎชோเฎคுเฎฎ் 1 เฎเฎ เฎเฎณ்เฎณเฎคு.
เฎตிเฎை: z
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชு B (เฎจீเฎฒเฎฎ்): เฎீเฎด் เฎตเฎฒเฎคு เฎฎூเฎฒைเฎฏைเฎช் เฎชாเฎฐுเฎ்เฎเฎณ். เฎเฎฐเฎฃ்เฎு 1s เฎเฎณ்เฎณเฎฉ (เฎெเฎฒ்เฎเฎณ் 6 เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் 7).
เฎเฎฉ்? เฎเฎจ்เฎค เฎคொเฎுเฎช்เฎชிเฎฒ், z เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0 เฎฎுเฎคเฎฒ் 1). เฎเฎฉாเฎฒ் x เฎเฎช்เฎชோเฎคுเฎฎ் 1 เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் y เฎเฎช்เฎชோเฎคுเฎฎ் 1.
เฎตிเฎை: xy
เฎชเฎி 5: เฎเฎฑுเฎคி เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎு
เฎคொเฎுเฎช்เฎชுเฎเฎณிเฎฉ் เฎตிเฎைเฎเฎณை OR (+) เฎுเฎฑிเฎฏீเฎ்เฎுเฎเฎฉ் เฎเฎฃைเฎ்เฎเฎตுเฎฎ்.
F = z + xy
เฎเฎคு เฎ
เฎเฎฒ் เฎจீเฎฃ்เฎ เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎ்เฎை เฎตிเฎ เฎฎிเฎเฎตுเฎฎ் เฎเฎณிเฎฎைเฎฏாเฎฉเฎคு!
7. POS (Product of Sums) เฎเฎช்เฎชเฎி เฎெเฎฏ்เฎตเฎคு
เฎேเฎณ்เฎตி POS เฎเฎ் เฎேเฎ்เฎாเฎฒ் เฎ
เฎฒ்เฎฒเฎคு Maxterms (0s) เฎொเฎுเฎค்เฎคாเฎฒ்:
- K-Map เฎ 1s เฎ்เฎுเฎช் เฎชเฎคிเฎฒாเฎ 0s เฎொเฎฃ்เฎு เฎจிเฎฐเฎช்เฎชเฎตுเฎฎ் (เฎாเฎฐ்เฎชு เฎชொเฎฏ்เฎฏாเฎ เฎเฎฐுเฎ்เฎுเฎฎ் เฎเฎเฎ்เฎเฎณிเฎฒ்).
- 0s เฎ เฎเฎฉ்เฎฑாเฎ เฎคொเฎுเฎ்เฎเฎตுเฎฎ்.
- เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎ்เฎை เฎเฎดுเฎคுเฎฎ்เฎชோเฎคு:
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชிเฎฒ் เฎเฎฐு เฎฎாเฎฑி 0 เฎเฎ เฎเฎฐுเฎจ்เฎคாเฎฒ், เฎ
เฎคை เฎாเฎคாเฎฐเฎฃเฎฎாเฎ เฎเฎดுเฎคเฎตுเฎฎ் (เฎเฎคா: A).
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชிเฎฒ் เฎเฎฐு เฎฎாเฎฑி 1 เฎเฎ เฎเฎฐுเฎจ்เฎคாเฎฒ், เฎ
เฎคை เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎுเฎเฎฉ் เฎเฎดுเฎคเฎตுเฎฎ் (เฎเฎคா: A').
- เฎฎாเฎฑிเฎเฎณை OR (+) เฎฎூเฎฒเฎฎுเฎฎ், เฎคொเฎுเฎช்เฎชுเฎเฎณை AND (·) เฎฎூเฎฒเฎฎுเฎฎ் เฎเฎฃைเฎ்เฎเฎตுเฎฎ்.
K-Map เฎชเฎฏிเฎฑ்เฎிเฎเฎณ்: SOP & POS
เฎ
เฎிเฎช்เฎชเฎைเฎเฎณைเฎช் เฎชுเฎฐிเฎจ்เฎคு เฎொเฎฃ்เฎோเฎฎ், เฎเฎช்เฎชோเฎคு Sum of Products (SOP) เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் Product of Sums (POS) เฎเฎிเฎฏ เฎเฎฐเฎฃ்เฎிเฎฑ்เฎுเฎฎ் เฎுเฎฑிเฎช்เฎชிเฎ்เฎ ฯฯฮฟฮฒ்เฎณเฎฎ்เฎเฎณை เฎชเฎிเฎช்เฎชเฎிเฎฏாเฎเฎค் เฎคீเฎฐ்เฎช்เฎชோเฎฎ்.
เฎชเฎฏிเฎฑ்เฎி 1: Sum of Products (SOP)
เฎเฎฒเฎ்เฎு: 1s เฎ เฎคொเฎுเฎช்เฎชเฎคเฎฉ் เฎฎூเฎฒเฎฎ் เฎுเฎฐுเฎ்เฎเฎช்เฎชเฎ்เฎ เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎ்เฎைเฎ் เฎเฎฃ்เฎเฎฑிเฎคเฎฒ்.
เฎชிเฎฐเฎ்เฎிเฎฉை:
F = x'y'z + x'yz + xy'z + xyz' + xyz
เฎชเฎி 1: Minterms เฎ เฎ
เฎைเฎฏாเฎณเฎฎ் เฎாเฎฃுเฎคเฎฒ் (F = 1 เฎเฎเฎ்เฎเฎณ்)
เฎเฎต்เฎตொเฎฐு เฎเฎฑுเฎช்เฎชைเฎฏுเฎฎ் เฎเฎฐுเฎฎเฎค்เฎคிเฎฑ்เฎு (binary) เฎฎாเฎฑ்เฎฑเฎตுเฎฎ். เฎจிเฎฉைเฎตிเฎฒ் เฎொเฎณ்เฎ: เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎு เฎเฎฒ்เฎฒை = 1, เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎு เฎเฎฃ்เฎு = 0.
x'y'z → 001 → m1x'yz → 011 → m3xy'z → 101 → m5xyz' → 110 → m6xyz → 111 → m7
เฎுเฎฑிเฎฏீเฎு: เฎเฎจ்เฎคเฎ் เฎாเฎฐ்เฎชை เฎเฎต்เฎตாเฎฑு เฎเฎดுเฎคเฎฒாเฎฎ் F(x,y,z) = ∑m(1, 3, 5, 6, 7)
เฎชเฎி 2: K-Map เฎ เฎจிเฎฐเฎช்เฎชுเฎคเฎฒ்
เฎจாเฎฎ் 2x4 เฎเฎ்เฎเฎค்เฎคைเฎช் เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคுเฎிเฎฑோเฎฎ். 1, 3, 5, 6, 7 เฎเฎிเฎฏ เฎெเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் 1 เฎ เฎเฎเฎตுเฎฎ். เฎฎเฎฑ்เฎฑ เฎเฎเฎ்เฎเฎณிเฎฒ் 0 เฎ เฎเฎเฎตுเฎฎ்.
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
เฎชเฎி 3: เฎคொเฎுเฎค்เฎคเฎฒ் (Grouping)
เฎจாเฎฎ் 1s เฎเฎฉ் เฎெเฎต்เฎตเฎเฎ்เฎเฎณைเฎค் เฎคேเฎுเฎிเฎฑோเฎฎ்.
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชு 1 (Quad - เฎจாเฎฉ்เฎு): เฎจเฎு เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் เฎเฎณ்เฎณ เฎจாเฎฉ்เฎு 1s (เฎெเฎฒ்เฎเฎณ் 1, 3, 5, 7).
- x เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0→1), y เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0→1).
- z เฎฎாเฎฑாเฎฎเฎฒ் 1 เฎเฎ เฎเฎณ்เฎณเฎคு.
- เฎเฎฑுเฎช்เฎชு:
z
- เฎคொเฎுเฎช்เฎชு 2 (Pair - เฎเฎฐเฎฃ்เฎு): เฎீเฎด் เฎตเฎฒเฎคு เฎฎூเฎฒைเฎฏிเฎฒ் เฎเฎณ்เฎณ เฎเฎฐเฎฃ்เฎு 1s (เฎெเฎฒ்เฎเฎณ் 6, 7).
- z เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0→1).
- x เฎฎாเฎฑாเฎฎเฎฒ் 1, y เฎฎாเฎฑாเฎฎเฎฒ் 1.
- เฎเฎฑுเฎช்เฎชு:
xy
เฎเฎฑுเฎคி SOP เฎตிเฎை:
F = z + xy
เฎชเฎฏிเฎฑ்เฎி 2: Product of Sums (POS)
เฎเฎฒเฎ்เฎு: 0s เฎ เฎคொเฎுเฎช்เฎชเฎคเฎฉ் เฎฎூเฎฒเฎฎ் เฎுเฎฐுเฎ்เฎเฎช்เฎชเฎ்เฎ เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎ்เฎைเฎ் เฎเฎฃ்เฎเฎฑிเฎคเฎฒ்.
POS เฎเฎฒ், เฎจாเฎฎ் Maxterms เฎเฎช் เฎชாเฎฐ்เฎ்เฎிเฎฑோเฎฎ்.
เฎตிเฎคி: เฎจிเฎฐเฎช்เฎชு เฎเฎฒ்เฎฒாเฎค เฎฎாเฎฑி = 0, เฎจிเฎฐเฎช்เฎชு เฎเฎณ்เฎณ เฎฎாเฎฑி = 1.
เฎชிเฎฐเฎ்เฎிเฎฉை:
F = (x+y+z') · (x+y'+z') · (x'+y+z') · (x'+y'+z')
เฎชเฎி 1: Maxterms เฎ เฎ
เฎைเฎฏாเฎณเฎฎ் เฎாเฎฃுเฎคเฎฒ் (F = 0 เฎเฎเฎ்เฎเฎณ்)
เฎเฎจ்เฎค เฎெเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் 0 เฎตเฎฐுเฎฎ் เฎเฎฉ்เฎชเฎคைเฎ் เฎเฎฃ்เฎเฎฑிเฎฏ เฎூเฎ்เฎเฎฒ்เฎเฎณை เฎเฎฐுเฎฎเฎค்เฎคிเฎฑ்เฎு เฎฎாเฎฑ்เฎฑเฎตுเฎฎ்.
(x+y+z') → 001 → M1(x+y'+z') → 011 → M3(x'+y+z') → 101 → M5(x'+y'+z') → 111 → M7
เฎுเฎฑிเฎฏீเฎு: F(x,y,z) = ∏M(1, 3, 5, 7)
เฎชเฎி 2: K-Map เฎ 0s เฎொเฎฃ்เฎு เฎจிเฎฐเฎช்เฎชுเฎคเฎฒ்
1, 3, 5, 7 เฎเฎிเฎฏ เฎெเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் 0 เฎ เฎเฎเฎตுเฎฎ். เฎฎீเฎคเฎฎுเฎณ்เฎณ เฎெเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் (0, 2, 4, 6) 1 เฎ เฎเฎเฎตுเฎฎ்.
| x \ yz |
00 |
01 |
11 |
10 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
เฎชเฎி 3: 0s เฎ เฎคொเฎுเฎค்เฎคเฎฒ்
เฎจเฎு เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் (1, 3, 5, 7) เฎจாเฎฉ்เฎு 0s เฎொเฎฃ்เฎ เฎเฎฐு เฎெเฎ்เฎுเฎค்เฎคாเฎฉ เฎคொเฎுเฎคி เฎเฎณ்เฎณเฎคு.
- x เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0→1).
- y เฎฎாเฎฑுเฎிเฎฑเฎคு (0→1).
- z' เฎฎாเฎฑாเฎฎเฎฒ் เฎเฎณ்เฎณเฎคு (เฎเฎฐுเฎฎเฎค்เฎคிเฎฒ் z=1 เฎเฎฉ்เฎชเฎคாเฎுเฎฎ், เฎเฎฉเฎตே เฎตிเฎைเฎฏிเฎฒ் z' เฎเฎฉ เฎเฎดுเฎคுเฎிเฎฑோเฎฎ்).
POS เฎ்เฎாเฎฉ เฎுเฎฑிเฎช்เฎชு: เฎคொเฎுเฎช்เฎชிเฎฒ் เฎจிเฎฒைเฎฏாเฎฉ เฎฎเฎคிเฎช்เฎชு 1 เฎเฎ เฎเฎฐுเฎจ்เฎคாเฎฒ், เฎฎாเฎฑிเฎฏை เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎுเฎเฎฉ் เฎเฎดுเฎคเฎตுเฎฎ். 0 เฎเฎ เฎเฎฐுเฎจ்เฎคாเฎฒ், เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎு เฎเฎฒ்เฎฒாเฎฎเฎฒ் เฎเฎดுเฎคเฎตுเฎฎ்.
เฎเฎฑுเฎคி POS เฎตிเฎை:
F = z'
4-เฎฎாเฎฑி เฎுเฎฑிเฎฏீเฎு เฎเฎคாเฎฐเฎฃเฎฎ்
4 เฎฎாเฎฑிเฎเฎณுเฎ்เฎு (A, B, C, D), เฎเฎ்เฎ เฎ
เฎณเฎตு 4x4 (16 เฎெเฎฒ்เฎเฎณ்) เฎเฎுเฎฎ். เฎคเฎฐ்เฎ்เฎเฎฎ் (logic) เฎ
เฎคே เฎชோเฎฒ เฎเฎฐுเฎ்เฎுเฎฎ்.
เฎเฎคாเฎฐเฎฃเฎฎ்: F(A,B,C,D) = ∏M(3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13)
เฎเฎคு เฎเฎฐு POS เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎு เฎเฎฉெเฎฉிเฎฒ் เฎเฎคு เฎชெเฎฐிเฎฏ เฎเฎดுเฎค்เฎคு M (Maxterms) เฎเฎช் เฎชเฎฏเฎฉ்เฎชเฎுเฎค்เฎคுเฎிเฎฑเฎคு.
- 4x4 เฎเฎ்เฎเฎค்เฎคை เฎตเฎฐைเฎฏเฎตுเฎฎ்.
- เฎตเฎฐிเฎைเฎเฎณ் AB (00, 01, 11, 10) เฎฎเฎฑ்เฎฑுเฎฎ் เฎจிเฎฐเฎฒ்เฎเฎณ் CD (00, 01, 11, 10) เฎเฎฉ เฎชெเฎฏเฎฐிเฎเฎตுเฎฎ்.
- 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13 เฎเฎிเฎฏ เฎெเฎฒ்เฎเฎณைเฎ் เฎเฎฃ்เฎுเฎชிเฎிเฎค்เฎคு เฎ
เฎ்เฎு 0s เฎ เฎเฎเฎตுเฎฎ்.
- เฎฎீเฎคเฎฎுเฎณ்เฎณ เฎெเฎฒ்เฎเฎณிเฎฒ் 1s เฎ เฎเฎเฎตுเฎฎ்.
- POS เฎเฎฎเฎฉ்เฎชாเฎ்เฎைเฎ் เฎเฎฃ்เฎเฎฑிเฎฏ 0s เฎ เฎคொเฎுเฎ்เฎเฎตுเฎฎ்.
เฎตிเฎฐைเฎตாเฎฉ เฎுเฎฑிเฎช்เฎชு เฎ
เฎ்เฎเฎตเฎฃை
| เฎ
เฎฎ்เฎเฎฎ் |
SOP (Sum of Products) |
POS (Product of Sums) |
| เฎுเฎฑிเฎฏீเฎு |
∑ m (เฎிเฎฑிเฎฏ m) |
∏ M (เฎชெเฎฐிเฎฏ M) |
| K-Map เฎฎเฎคிเฎช்เฎชு |
1s เฎொเฎฃ்เฎு เฎจிเฎฐเฎช்เฎชเฎตுเฎฎ் |
0s เฎொเฎฃ்เฎு เฎจிเฎฐเฎช்เฎชเฎตுเฎฎ் |
| เฎคொเฎுเฎค்เฎคเฎฒ் |
1s เฎ เฎคொเฎுเฎ்เฎเฎตுเฎฎ் |
0s เฎ เฎคொเฎுเฎ்เฎเฎตுเฎฎ் |
| เฎฎாเฎฑி เฎตிเฎคி |
1 = เฎฎாเฎฑி, 0 = เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎு |
0 = เฎฎாเฎฑி, 1 = เฎฎேเฎฑ்เฎோเฎு |
