Showing posts with label K-Maps | AL ICT | Unit 4 | Boolean Logic and Digital Circuit | in Tamil | தமிழில். Show all posts
Showing posts with label K-Maps | AL ICT | Unit 4 | Boolean Logic and Digital Circuit | in Tamil | தமிழில். Show all posts

Tuesday, February 17, 2026

Mastering Karnaugh Maps (K-Maps) for GCE A/L K-Maps | AL ICT | Unit 4 | Boolean Logic and Digital Circuit | in Tamil | தமிழில் English Medium

Mastering Karnaugh Maps (K-Maps) for GCE A/L

Welcome! If you are finding Boolean Algebra confusing, K-Maps are your best friend. They turn complex algebra into a visual puzzle. Here is everything you need to know, step-by-step.

1. What is the Purpose?

The main purpose of a K-Map is to simplify Boolean equations. Instead of using long algebraic laws (like De Morgan's or Distributive laws), we use a visual grid to group terms together and eliminate variables.

2. Truth Tables vs. K-Maps

  • Normal Truth Tables (1D): These are lists. You read them from top to bottom. They show every possible input combination.
  • K-Maps (2D): These are grids (tables). We take that 1D list and "fold" it into a 2D shape. This allows us to see patterns (neighbors) that are hard to see in a list.

3. SOP vs. POS

There are two ways to write equations, and two ways to use K-Maps:

  • SOP (Sum of Products): You look for Minterms. In the K-Map, you place 1s and group the 1s.
  • POS (Product of Sums): You look for Maxterms. In the K-Map, you place 0s and group the 0s.

Note: For this guide, we will focus on SOP (Grouping 1s) as it is the most common method for beginners.

4. Grid Sizes (Dimensions)

The size of your K-Map depends on the number of variables (inputs). For 3 Variables (x, y, z):

Total combinations = $2^3 = 8$.

You can arrange these 8 cells in different 2D shapes:

  • 1 row × 8 columns (1x8)
  • 8 rows × 1 column (8x1)
  • 2 rows × 4 columns (2x4) (Most Common for 3 variables)
  • 4 rows × 2 columns (4x2)

5. The Secret Weapon: Gray Code

This is the most important rule in K-Maps. When labeling the rows and columns, you cannot use normal binary counting (00, 01, 10, 11). You must use Gray Code.

Rule: Between any two adjacent numbers, only one bit (value) changes.

Sequence for 2 bits: 00 → 01 → 11 → 10

  • 00 to 01: Only the right bit changed.
  • 01 to 11: Only the left bit changed.
  • 11 to 10: Only the right bit changed.

If you do not use Gray Code, your K-Map will not work!

6. Step-by-Step Example

Let's solve this function together:

F(x,y,z) = (x'y'z) + (x'yz) + (xy'z) + (xyz') + (xyz)

Step 1: Convert to Binary (Minterms)

Look at each term. If a variable has a bar (like x'), it is 0. If it has no bar (like x), it is 1.

  • x'y'z → 0 0 1 (Decimal 1)
  • x'yz → 0 1 1 (Decimal 3)
  • xy'z → 1 0 1 (Decimal 5)
  • xyz' → 1 1 0 (Decimal 6)
  • xyz → 1 1 1 (Decimal 7)

Step 2: Create the Truth Table

We list all 8 combinations (0 to 7). We put a 1 in the Output column if the number matches our list above (1, 3, 5, 6, 7). Otherwise, put a 0.

Decimal x y z Output (F) Note
00000
10011From x'y'z
20100
30111From x'yz
41000
51011From xy'z
61101From xyz'
71111From xyz

Step 3: Draw the K-Map Grid

We will use a 2 rows × 4 columns grid.

  • Rows (x): 0, 1
  • Columns (yz): 00, 01, 11, 10 (Remember Gray Code!)
x \ yz 00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 0 1 1 1

We placed 1s in cells 1, 3, 5, 6, and 7 based on our Truth Table.

Step 4: Grouping (The Magic Step)

Rules for grouping:

  1. Groups must contain $2^n$ cells (1, 2, 4, 8, 16...).
  2. Groups must be rectangular or square.
  3. Try to make groups as large as possible.
  4. Every 1 must be inside at least one group.
  5. Groups can overlap.

Let's group our example:

  1. Group A (Red): Look at the middle two columns (01 and 11). We have four 1s forming a square (Cells 1, 3, 5, 7).
    Why? In this group, x changes (0 to 1) and y changes (0 to 1). But z is always 1.
    Result: z
  2. Group B (Blue): Look at the bottom right corner. We have two 1s (Cells 6 and 7).
    Why? In this group, z changes (0 to 1). But x is always 1 and y is always 1.
    Result: xy

Step 5: Final Equation

Combine the results of the groups with an OR (+) sign.

F = z + xy

This is much simpler than the original long equation!

7. How to do POS (Product of Sums)

If the question asks for POS, or gives you Maxterms (0s):

  1. Fill the K-Map with 0s instead of 1s (wherever the function is false).
  2. Group the 0s together.
  3. When writing the equation:
    • If a variable is 0 in the group, write it normally (e.g., A).
    • If a variable is 1 in the group, write it with a bar (e.g., A').
    • Combine variables with OR (+), and combine groups with AND (·).

K-Map Exercises: SOP & POS

Now that we understand the basics, let's solve specific problems step-by-step for both Sum of Products (SOP) and Product of Sums (POS).

Exercise 1: Sum of Products (SOP)

Goal: Find the simplified equation by grouping 1s.

Problem:

F = x'y'z + x'yz + xy'z + xyz' + xyz

Step 1: Identify Minterms (Where F = 1)

Convert each term to binary. Remember: No bar = 1, Bar = 0.

  • x'y'z → 001 → m1
  • x'yz → 011 → m3
  • xy'z → 101 → m5
  • xyz' → 110 → m6
  • xyz → 111 → m7

Notation: We can write this function as F(x,y,z) = ∑m(1, 3, 5, 6, 7)

Step 2: Fill the K-Map

We use a 2x4 grid. Place a 1 in cells 1, 3, 5, 6, 7. Place 0 everywhere else.

x \ yz 00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 0 1 1 1

Step 3: Grouping

We look for rectangles of 1s.

  1. Group 1 (Quad): The four 1s in the middle columns (Cells 1, 3, 5, 7).
    • x changes (0→1), y changes (0→1).
    • z stays 1.
    • Term: z
  2. Group 2 (Pair): The two 1s on the bottom right (Cells 6, 7).
    • z changes (0→1).
    • x stays 1, y stays 1.
    • Term: xy

Final SOP Answer:

F = z + xy

Exercise 2: Product of Sums (POS)

Goal: Find the simplified equation by grouping 0s.

In POS, we look at the Maxterms.
Rule: Uncomplemented variable = 0, Complemented variable = 1.

Problem:

F = (x+y+z') · (x+y'+z') · (x'+y+z') · (x'+y'+z')

Step 1: Identify Maxterms (Where F = 0)

Convert the sums to binary to find which cells get a 0.

  • (x+y+z') → 001 → M1
  • (x+y'+z') → 011 → M3
  • (x'+y+z') → 101 → M5
  • (x'+y'+z') → 111 → M7

Notation: F(x,y,z) = ∏M(1, 3, 5, 7)

Step 2: Fill the K-Map with 0s

Place 0 in cells 1, 3, 5, 7. Place 1 in the remaining cells (0, 2, 4, 6).

x \ yz 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1

Step 3: Grouping the 0s

We see a vertical block of four 0s in the middle columns (1, 3, 5, 7).

  • x changes (0→1).
  • y changes (0→1).
  • z' is constant (which means z=1 in binary, so we write z' in the answer).

Note for POS: If the constant value in the group is 1, write the variable with a bar. If 0, write without a bar.

Final POS Answer:

F = z'

4-Variable Notation Example

For 4 variables (A, B, C, D), the grid size is 4x4 (16 cells). The logic remains the same.

Example: F(A,B,C,D) = ∏M(3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13)

This is a POS equation because it uses Capital M (Maxterms).

  1. Draw a 4x4 Grid.
  2. Label rows AB (00, 01, 11, 10) and columns CD (00, 01, 11, 10).
  3. Find cells 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13 and put 0s there.
  4. Put 1s in the remaining cells.
  5. Group the 0s to find the POS equation.

Quick Reference Table

Feature SOP (Sum of Products) POS (Product of Sums)
Symbol ∑ m (Small m) ∏ M (Capital M)
K-Map Value Fill with 1s Fill with 0s
Grouping Group the 1s Group the 0s
Variable Rule 1 = Variable, 0 = Bar 0 = Variable, 1 = Bar

Advanced K-Map Exercises & Solutions

Here are detailed step-by-step solutions for the specific Boolean functions you requested. We will cover both SOP (Sum of Products) and POS (Product of Sums) methods.

Problem 1: SOP Simplification

Function:

F(x,y,z) = x'z + xy'z + xyz' + xyz

Step 1: Expand to Minterms

Some terms are missing variables. We need to expand them to find the exact minterms (1s).

  • x'z: Missing y. Expands to x'y'z (001, m1) and x'yz (011, m3).
  • xy'z: Complete. (101, m5).
  • xyz': Complete. (110, m6).
  • xyz: Complete. (111, m7).

Minterms: 1, 3, 5, 6, 7.

Step 2: K-Map Construction

Place 1s in cells 1, 3, 5, 6, 7.

x \ yz 00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 0 1 1 1

Step 3: Grouping

  1. Quad (1, 3, 5, 7): The four 1s in the middle columns.
    • x changes, y changes. z is constant 1.
    • Term: z
  2. Pair (6, 7): The two 1s in the bottom right.
    • z changes. x is 1, y is 1.
    • Term: xy

Final Answer:

F = z + xy

Problem 2: SOP with Absorption

Function:

F(x,y,z) = x + xy'z + xyz' + xyz

Step 1: Analyze Terms

This problem has a trick. The term x covers all cases where x is 1.

  • x covers: 100 (m4), 101 (m5), 110 (m6), 111 (m7).
  • The other terms (xy'z, xyz', xyz) are already included inside x.

Effective Minterms: 4, 5, 6, 7.

Step 2: K-Map Construction

Place 1s in the entire bottom row (where x=1).

x \ yz 00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1

Step 3: Grouping

We have one big group of four 1s (Quad) in the bottom row.

  • y changes, z changes.
  • x is constant 1.

Final Answer:

F = x

Problem 3: POS Simplification

Function:

F = (x+y+z') · (x+y'+z') · (x'+y+z') · (x'+y'+z')

Step 1: Identify Maxterms (0s)

Convert sums to binary. Remember: No Bar = 0, Bar = 1.

  • (x+y+z') → 001 → M1
  • (x+y'+z') → 011 → M3
  • (x'+y+z') → 101 → M5
  • (x'+y'+z') → 111 → M7

Maxterms: 1, 3, 5, 7.

Step 2: K-Map Construction

Place 0s in cells 1, 3, 5, 7. Place 1s elsewhere.

x \ yz 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1

Step 3: Grouping the 0s

We have a vertical Quad of 0s in the middle columns (1, 3, 5, 7).

  • x changes, y changes.
  • z' is constant (In binary, z=1. For POS, 1 becomes z').

Final Answer:

F = z'

Problem 4: SOP from Minterm Notation

Function:

F(x,y,z) = ∑m(1, 2, 3, 5, 7)

Step 1: K-Map Construction

Place 1s in cells 1, 2, 3, 5, 7.

x \ yz 00 01 11 10
0 0 1 1 1
1 0 1 1 0

Step 2: Grouping

  1. Quad (1, 3, 5, 7): Middle columns.
    • Term: z
  2. Pair (2, 3): Top row, right side.
    • x is 0, y is 1. z changes.
    • Term: x'y

Final Answer:

F = z + x'y

Problem 5: POS from Maxterm Notation (4 Variables)

Function:

F(A,B,C,D) = ∏M(3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13)

This is a 4-variable map (4x4 Grid). We group the 0s.

Step 1: K-Map Construction

Place 0s in cells: 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13.

AB \ CD 00 01 11 10
00 1 1 0 1
01 1 0 0 1
11 0 0 1 1
10 0 1 0 0

Step 2: Grouping the 0s

We need to cover all 0s with the fewest groups possible.

  1. Group 1 (Pair 3, 7): Cells 0011 and 0111.
    • A=0, C=1, D=1.
    • Term: (A + C' + D')
  2. Group 2 (Pair 5, 13): Cells 0101 and 1101.
    • B=1, C=0, D=1.
    • Term: (B' + C + D')
  3. Group 3 (Pair 8, 12): Cells 1000 and 1100.
    • A=1, C=0, D=0.
    • Term: (A' + C + D)
  4. Group 4 (Pair 10, 11): Cells 1010 and 1011.
    • A=1, B=0, C=1.
    • Term: (A' + B + C')

Final Answer:

F = (A + C' + D') · (B' + C + D') · (A' + C + D) · (A' + B + C')

GCE A/L க்கான Karnaugh Maps (K-Maps) கற்றல்

பூலியன் இயற்கணிதம் (Boolean Algebra) குழப்பமாக இருந்தால், K-Maps உங்களுக்கு உதவும். இது சிக்கலான கணிதத்தை ஒரு காட்சி புதிர் போல மாற்றும். இங்கே ஒவ்வொரு படியாக நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தும் உள்ளன.

1. இதன் நோக்கம் என்ன?

K-Map இன் முக்கிய நோக்கம் பூலியன் சமன்பாடுகளை சுருக்குவதாகும் (Simplify Boolean equations). நீண்ட இயற்கணித விதிகளைப் (De Morgan's or Distributive laws) பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, ஒரு காட்சி கட்டத்தைப் (visual grid) பயன்படுத்தி உறுப்புகளை ஒன்றிணைத்து மாறிகளை நீக்குகிறோம்.

2. மெய்மதிப்பு அட்டவணை vs K-Maps

  • சாதாரண மெய்மதிப்பு அட்டவணை (1D - Truth Tables): இவை பட்டியல்கள். இவற்றை மேலிருந்து கீழாக வாசிக்க வேண்டும். இவை சாத்தியமான உள்ளீடுகளின் கலவைகளைக் காட்டுகின்றன.
  • K-Maps (2D): இவை அட்டவணைகள் (Grids). அந்த 1D பட்டியலை எடுத்து 2D வடிவமாக "மடிக்கிறோம்". இது பட்டியலில் பார்க்க கடினமான வடிவங்களை (patterns) பார்க்க உதவுகிறது.

3. SOP vs POS

சமன்பாடுகளை எழுத இரண்டு வழிகள் உள்ளன, K-Maps பயன்படுத்தவும் இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

  • SOP (Sum of Products): நீங்கள் Minterms களைத் தேடுகிறீர்கள். K-Map இல், நீங்கள் 1s ஐ வைத்து, 1s ஐ தொகுக்க வேண்டும் (Group the 1s).
  • POS (Product of Sums): நீங்கள் Maxterms களைத் தேடுகிறீர்கள். K-Map இல், நீங்கள் 0s ஐ வைத்து, 0s ஐ தொகுக்க வேண்டும் (Group the 0s).

குறிப்பு: இந்த வழிகாட்டியில், தொடக்க நிலை மாணவர்களுக்கு மிகவும் பொதுவான முறையான SOP (1s ஐ தொகுத்தல்) மீது கவனம் செலுத்துவோம்.

4. கட்ட அளவுகள் (Dimensions)

உங்கள் K-Map இன் அளவு மாறிகளின் (inputs) எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது. 3 மாறிகள் (x, y, z) க்கு:

மொத்த கலவைகள் = $2^3 = 8$.

இந்த 8 செல்களை வெவ்வேறு 2D வடிவங்களில் அமைக்கலாம்:

  • 1 வரிசை × 8 நிரல்கள் (1x8)
  • 8 வரிசைகள் × 1 நிரல் (8x1)
  • 2 வரிசைகள் × 4 நிரல்கள் (2x4) (3 மாறிகளுக்கு இதுவே மிகவும் பொதுவானது)
  • 4 வரிசைகள் × 2 நிரல்கள் (4x2)

5. இரகசிய ஆயுதம்: Gray Code

இது K-Maps இல் மிக முக்கியமான விதியாகும். வரிசைகள் மற்றும் நிரல்களுக்கு பெயரிடும்போது, சாதாரண இரும எண்ணிக்கையைப் (00, 01, 10, 11) பயன்படுத்தக்கூடாது. நீங்கள் Gray Code ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

விதி: எந்த இரண்டு அடுத்தடுத்த எண்களுக்கும் இடையில், ஒரே ஒரு பிட் மட்டுமே (value) மாற வேண்டும்.

2 பிட்களுக்கான வரிசை: 00 → 01 → 11 → 10

  • 00 முதல் 01 வரை: வலது பிட் மட்டும் மாறியது.
  • 01 முதல் 11 வரை: இடது பிட் மட்டும் மாறியது.
  • 11 முதல் 10 வரை: வலது பிட் மட்டும் மாறியது.

நீங்கள் Gray Code ஐப் பயன்படுத்தாவிட்டால், உங்கள் K-Map வேலை செய்யாது!

6. படிப்படியான உதாரணம்

இந்தச் சார்பை (function) ஒன்றாகத் தீர்ப்போம்:

F(x,y,z) = (x'y'z) + (x'yz) + (xy'z) + (xyz') + (xyz)

படி 1: இருமத்திற்கு மாற்றுதல் (Minterms)

ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பாருங்கள். ஒரு மாறிக்கு மேற்கோடு இருந்தால் (x' போன்றது), அது 0. மேற்கோடு இல்லையென்றால் (x போன்றது), அது 1.

  • x'y'z → 0 0 1 (பதின்மம் 1)
  • x'yz → 0 1 1 (பதின்மம் 3)
  • xy'z → 1 0 1 (பதின்மம் 5)
  • xyz' → 1 1 0 (பதின்மம் 6)
  • xyz → 1 1 1 (பதின்மம் 7)

படி 2: மெய்மதிப்பு அட்டவணையை உருவாக்குதல் (Truth Table)

நாம் அனைத்து 8 கலவைகளையும் (0 முதல் 7 வரை) பட்டியலிடுகிறோம். மேலே உள்ள பட்டியலுடன் (1, 3, 5, 6, 7) எண் பொருந்தினால் வெளியீடு நிரலில் 1 ஐ இடுகிறோம். இல்லையென்றால், 0 ஐ இடுகிறோம்.

பதின்மம் (Decimal) x y z வெளியீடு (F) குறிப்பு
00000
10011x'y'z இலிருந்து
20100
30111x'yz இலிருந்து
41000
51011xy'z இலிருந்து
61101xyz' இலிருந்து
71111xyz இலிருந்து

படி 3: K-Map கட்டத்தை வரைதல்

நாம் 2 வரிசைகள் × 4 நிரல்கள் கட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

  • வரிசைகள் (x): 0, 1
  • நிரல்கள் (yz): 00, 01, 11, 10 (Gray Code ஐ நினைவில் கொள்க!)
x \ yz 00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 0 1 1 1

மெய்மதிப்பு அட்டவணையின் அடிப்படையில் 1, 3, 5, 6, மற்றும் 7 ஆகிய செல்களில் 1s ஐ இட்டுள்ளோம்.

படி 4: தொகுத்தல் (Grouping - The Magic Step)

தொகுத்தலுக்கான விதிகள்:

  1. தொகுப்புகள் $2^n$ செல்களைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் (1, 2, 4, 8, 16...).
  2. தொகுப்புகள் செவ்வகமாகவோ அல்லது சதுரமாகவோ இருக்க வேண்டும்.
  3. தொகுப்புகளை முடிந்தவரை பெரியதாக உருவாக்க முயற்சிக்கவும்.
  4. ஒவ்வொரு 1 உம் குறைந்தபட்சம் ஒரு தொகுப்பிற்குள் இருக்க வேண்டும்.
  5. தொகுப்புகள் ஒன்றின் மேல் ஒன்று வரலாம் (Overlap).

நமது உதாரணத்தை தொகுப்போம்:

  1. தொகுப்பு A (சிவப்பு): நடுவில் உள்ள இரண்டு நிரல்களைப் பாருங்கள் (01 மற்றும் 11). நான்கு 1s சதுரமாக உள்ளன (செல்கள் 1, 3, 5, 7).
    ஏன்? இந்த தொகுப்பில், x மாறுகிறது (0 முதல் 1) மற்றும் y மாறுகிறது (0 முதல் 1). ஆனால் z எப்போதும் 1 ஆக உள்ளது.
    விடை: z
  2. தொகுப்பு B (நீலம்): கீழ் வலது மூலையைப் பாருங்கள். இரண்டு 1s உள்ளன (செல்கள் 6 மற்றும் 7).
    ஏன்? இந்த தொகுப்பில், z மாறுகிறது (0 முதல் 1). ஆனால் x எப்போதும் 1 மற்றும் y எப்போதும் 1.
    விடை: xy

படி 5: இறுதி சமன்பாடு

தொகுப்புகளின் விடைகளை OR (+) குறியீட்டுடன் இணைக்கவும்.

F = z + xy

இது அசல் நீண்ட சமன்பாட்டை விட மிகவும் எளிமையானது!

7. POS (Product of Sums) எப்படி செய்வது

கேள்வி POS ஐக் கேட்டால் அல்லது Maxterms (0s) கொடுத்தால்:

  1. K-Map ஐ 1s க்குப் பதிலாக 0s கொண்டு நிரப்பவும் (சார்பு பொய்யாக இருக்கும் இடங்களில்).
  2. 0s ஐ ஒன்றாக தொகுக்கவும்.
  3. சமன்பாட்டை எழுதும்போது:
    • தொகுப்பில் ஒரு மாறி 0 ஆக இருந்தால், அதை சாதாரணமாக எழுதவும் (உதா: A).
    • தொகுப்பில் ஒரு மாறி 1 ஆக இருந்தால், அதை மேற்கோடுடன் எழுதவும் (உதா: A').
    • மாறிகளை OR (+) மூலமும், தொகுப்புகளை AND (·) மூலமும் இணைக்கவும்.

K-Map பயிற்சிகள்: SOP & POS

அடிப்படைகளைப் புரிந்து கொண்டோம், இப்போது Sum of Products (SOP) மற்றும் Product of Sums (POS) ஆகிய இரண்டிற்கும் குறிப்பிட்ட προβ்ளம்களை படிப்படியாகத் தீர்ப்போம்.

பயிற்சி 1: Sum of Products (SOP)

இலக்கு: 1s ஐ தொகுப்பதன் மூலம் சுருக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைக் கண்டறிதல்.

பிரச்சினை:

F = x'y'z + x'yz + xy'z + xyz' + xyz

படி 1: Minterms ஐ அடையாளம் காணுதல் (F = 1 இடங்கள்)

ஒவ்வொரு உறுப்பையும் இருமத்திற்கு (binary) மாற்றவும். நினைவில் கொள்க: மேற்கோடு இல்லை = 1, மேற்கோடு உண்டு = 0.

  • x'y'z → 001 → m1
  • x'yz → 011 → m3
  • xy'z → 101 → m5
  • xyz' → 110 → m6
  • xyz → 111 → m7

குறியீடு: இந்தச் சார்பை இவ்வாறு எழுதலாம் F(x,y,z) = ∑m(1, 3, 5, 6, 7)

படி 2: K-Map ஐ நிரப்புதல்

நாம் 2x4 கட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். 1, 3, 5, 6, 7 ஆகிய செல்களில் 1 ஐ இடவும். மற்ற இடங்களில் 0 ஐ இடவும்.

x \ yz 00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 0 1 1 1

படி 3: தொகுத்தல் (Grouping)

நாம் 1s இன் செவ்வகங்களைத் தேடுகிறோம்.

  1. தொகுப்பு 1 (Quad - நான்கு): நடு நிரல்களில் உள்ள நான்கு 1s (செல்கள் 1, 3, 5, 7).
    • x மாறுகிறது (0→1), y மாறுகிறது (0→1).
    • z மாறாமல் 1 ஆக உள்ளது.
    • உறுப்பு: z
  2. தொகுப்பு 2 (Pair - இரண்டு): கீழ் வலது மூலையில் உள்ள இரண்டு 1s (செல்கள் 6, 7).
    • z மாறுகிறது (0→1).
    • x மாறாமல் 1, y மாறாமல் 1.
    • உறுப்பு: xy

இறுதி SOP விடை:

F = z + xy

பயிற்சி 2: Product of Sums (POS)

இலக்கு: 0s ஐ தொகுப்பதன் மூலம் சுருக்கப்பட்ட சமன்பாட்டைக் கண்டறிதல்.

POS இல், நாம் Maxterms ஐப் பார்க்கிறோம்.
விதி: நிரப்பு இல்லாத மாறி = 0, நிரப்பு உள்ள மாறி = 1.

பிரச்சினை:

F = (x+y+z') · (x+y'+z') · (x'+y+z') · (x'+y'+z')

படி 1: Maxterms ஐ அடையாளம் காணுதல் (F = 0 இடங்கள்)

எந்த செல்களில் 0 வரும் என்பதைக் கண்டறிய கூட்டல்களை இருமத்திற்கு மாற்றவும்.

  • (x+y+z') → 001 → M1
  • (x+y'+z') → 011 → M3
  • (x'+y+z') → 101 → M5
  • (x'+y'+z') → 111 → M7

குறியீடு: F(x,y,z) = ∏M(1, 3, 5, 7)

படி 2: K-Map ஐ 0s கொண்டு நிரப்புதல்

1, 3, 5, 7 ஆகிய செல்களில் 0 ஐ இடவும். மீதமுள்ள செல்களில் (0, 2, 4, 6) 1 ஐ இடவும்.

x \ yz 00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1

படி 3: 0s ஐ தொகுத்தல்

நடு நிரல்களில் (1, 3, 5, 7) நான்கு 0s கொண்ட ஒரு செங்குத்தான தொகுதி உள்ளது.

  • x மாறுகிறது (0→1).
  • y மாறுகிறது (0→1).
  • z' மாறாமல் உள்ளது (இருமத்தில் z=1 என்பதாகும், எனவே விடையில் z' என எழுதுகிறோம்).

POS க்கான குறிப்பு: தொகுப்பில் நிலையான மதிப்பு 1 ஆக இருந்தால், மாறியை மேற்கோடுடன் எழுதவும். 0 ஆக இருந்தால், மேற்கோடு இல்லாமல் எழுதவும்.

இறுதி POS விடை:

F = z'

4-மாறி குறியீடு உதாரணம்

4 மாறிகளுக்கு (A, B, C, D), கட்ட அளவு 4x4 (16 செல்கள்) ஆகும். தர்க்கம் (logic) அதே போல இருக்கும்.

உதாரணம்: F(A,B,C,D) = ∏M(3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13)

இது ஒரு POS சமன்பாடு ஏனெனில் இது பெரிய எழுத்து M (Maxterms) ஐப் பயன்படுத்துகிறது.

  1. 4x4 கட்டத்தை வரையவும்.
  2. வரிசைகள் AB (00, 01, 11, 10) மற்றும் நிரல்கள் CD (00, 01, 11, 10) என பெயரிடவும்.
  3. 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13 ஆகிய செல்களைக் கண்டுபிடித்து அங்கு 0s ஐ இடவும்.
  4. மீதமுள்ள செல்களில் 1s ஐ இடவும்.
  5. POS சமன்பாட்டைக் கண்டறிய 0s ஐ தொகுக்கவும்.

விரைவான குறிப்பு அட்டவணை

அம்சம் SOP (Sum of Products) POS (Product of Sums)
குறியீடு ∑ m (சிறிய m) ∏ M (பெரிய M)
K-Map மதிப்பு 1s கொண்டு நிரப்பவும் 0s கொண்டு நிரப்பவும்
தொகுத்தல் 1s ஐ தொகுக்கவும் 0s ஐ தொகுக்கவும்
மாறி விதி 1 = மாறி, 0 = மேற்கோடு 0 = மாறி, 1 = மேற்கோடு

🚀 Master Your IT Degree with Expert Guidance!

Online Individual & Group Classes in English | Sinhala | Tamil

Struggling with assignments, projects, or exams? Get personalized support tailored for BIT (University of Moratuwa), UCSC, and other IT degree students in Sri Lanka.

✨ What You'll Get

  • ✅ Live Online Classes (Individual or Group)
  • ✅ Sample Projects & Assignments (PHP, MySQL, Java, Python, Web Dev)
  • ✅ Past Exam Papers + Model Answers
  • ✅ Easy-to-Follow Tutorials & Study Notes
  • ✅ Final Year Project Guidance – From Idea to Implementation
  • ✅ Doubt-Clearing Sessions & Exam Prep Strategies

🌍 Taught in Your Preferred Language

English | Sinhala | Tamil

📞 Get Started Today!

Call / WhatsApp: +94 72 962 2034

Email: itclasssl@gmail.com

Quick response guaranteed! Share your syllabus or project topic, and we'll craft a learning plan just for you.

🔗 Free Resources & Community Links

Tags: #BIT #UCSC #UniversityOfMoratuwa #ITClassesSriLanka #PHPProject #MySQL #FinalYearProject #OnlineTuition #SinhalaMedium #TamilMedium #ProgrammingHelp #WebDevelopment

© 2026 IT Classes SL | Empowering Sri Lankan IT Students, One Lesson at a Time 🇱🇰

- No comments:
Labels:
Subscribe to: Comments (Atom)