[Boolean Logic] Min Terms & Max Terms Explained
GCE A/L ICT – Sri Lanka | Beginner Friendly Guide with Examples & Exercises
ЁЯТб Teacher's Tip: Min Terms and Max Terms are two sides of the same coin. Master them once — and K-Maps, SOP/POS forms will become easy!
1. What are Min Terms and Max Terms?
Min Term (Product Term)
- A Min Term is a Boolean expression where ALL variables appear exactly once, connected by AND (·) operators.
- Also called a Product Term because AND is like multiplication (e.g., X·Y = XY).
- Each Min Term produces output 1 (HIGH) for exactly ONE combination of inputs.
- Represented by lowercase m with subscript (e.g., m₀, m₁).
Example (2 variables X, Y):
Possible Min Terms: XY, X'Y, XY', X'Y'
→ Total = 2² = 4 Min Terms (m₀ to m₃)
Possible Min Terms: XY, X'Y, XY', X'Y'
→ Total = 2² = 4 Min Terms (m₀ to m₃)
Max Term (Sum Term)
- A Max Term is a Boolean expression where ALL variables appear exactly once, connected by OR (+) operators.
- Also called a Sum Term because OR is like addition.
- Each Max Term produces output 0 (LOW) for exactly ONE combination of inputs.
- Represented by uppercase M with subscript (e.g., M₀, M₁).
Example (2 variables X, Y):
Possible Max Terms: X+Y, X'+Y, X+Y', X'+Y'
→ Total = 2² = 4 Max Terms (M₀ to M₃)
Possible Max Terms: X+Y, X'+Y, X+Y', X'+Y'
→ Total = 2² = 4 Max Terms (M₀ to M₃)
2. Why "Min" Term and "Max" Term?
ЁЯза Memory Trick:
• Min Term = Minimal condition to make output = 1
• Max Term = Maximal condition to make output = 0
• Min Term = Minimal condition to make output = 1
• Max Term = Maximal condition to make output = 0
- Min Term: It's the "smallest" (minimal) combination of inputs that forces F=1. Any other input change makes it 0.
- Max Term: It's the "largest" (maximal) combination of inputs that forces F=0. Any other input change makes it 1.
3. Truth Tables for 2 Variables (X, Y)
Min Terms Table
| X | Y | Min Term | Name | Output = 1 when? |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | X'Y' | m₀ | Only when X=0, Y=0 |
| 0 | 1 | X'Y | m₁ | Only when X=0, Y=1 |
| 1 | 0 | XY' | m₂ | Only when X=1, Y=0 |
| 1 | 1 | XY | m₃ | Only when X=1, Y=1 |
Max Terms Table
| X | Y | Max Term | Name | Output = 0 when? |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | X+Y | M₀ | Only when X=0, Y=0 |
| 0 | 1 | X+Y' | M₁ | Only when X=0, Y=1 |
| 1 | 0 | X'+Y | M₂ | Only when X=1, Y=0 |
| 1 | 1 | X'+Y' | M₃ | Only when X=1, Y=1 |
ЁЯФС Key Insight: For the SAME input row:
• Min Term = 1
• Max Term = 0
→ They are complements: mс╡в = (Mс╡в)'
• Min Term = 1
• Max Term = 0
→ They are complements: mс╡в = (Mс╡в)'
4. SOP (Sum of Products) vs POS (Product of Sums)
| Feature | SOP (Min Term Form) | POS (Max Term Form) |
|---|---|---|
| Basis | Uses Min Terms | Uses Max Terms |
| Structure | OR of AND terms (e.g., XY + X'Y) |
AND of OR terms (e.g., (X+Y)(X'+Y)) |
| Output focus | Describes when F = 1 | Describes when F = 0 |
| Canonical form | F = ╬гm(1,3) | F = ╬аM(0,2) |
5. Step-by-Step Examples
Example 1: F = XY + XZ (SOP Form)
Variables: X, Y, Z (3 variables → 2³ = 8 possible Min Terms)
Step 1: Expand each term to include ALL variables
• XY = XY(Z + Z') = XYZ + XYZ'
• XZ = XZ(Y + Y') = XYZ + XY'Z
Step 2: Combine and remove duplicates
F = XYZ + XYZ' + XYZ + XY'Z = XYZ + XYZ' + XY'Z
Step 3: Map to Min Term numbers (X=MSB, Z=LSB)
• XYZ → 111 → m₇
• XYZ' → 110 → m₆
• XY'Z → 101 → m₅
Final Answer: F = ╬гm(5,6,7) = m₅ + m₆ + m₇
• XY = XY(Z + Z') = XYZ + XYZ'
• XZ = XZ(Y + Y') = XYZ + XY'Z
Step 2: Combine and remove duplicates
F = XYZ + XYZ' + XYZ + XY'Z = XYZ + XYZ' + XY'Z
Step 3: Map to Min Term numbers (X=MSB, Z=LSB)
• XYZ → 111 → m₇
• XYZ' → 110 → m₆
• XY'Z → 101 → m₅
Final Answer: F = ╬гm(5,6,7) = m₅ + m₆ + m₇
Example 2: F = (X+Y)(X+Z) (POS Form)
Note: Your query said "(X+Y)+(X+Z)" — but POS uses AND (·) between OR terms, not OR (+).
Step 1: Expand each Max Term to include ALL variables
• (X+Y) = (X+Y+ZZ') = (X+Y+Z)(X+Y+Z')
• (X+Z) = (X+Z+YY') = (X+Y+Z)(X+Y'+Z)
Step 2: Combine and remove duplicates
F = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y+Z)(X+Y'+Z) = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y'+Z)
Step 3: Map to Max Term numbers (X=MSB, Z=LSB)
• X+Y+Z → 000 → M₀
• X+Y+Z' → 001 → M₁
• X+Y'+Z → 010 → M₂
Final Answer: F = ╬аM(0,1,2) = M₀ · M₁ · M₂
• (X+Y) = (X+Y+ZZ') = (X+Y+Z)(X+Y+Z')
• (X+Z) = (X+Z+YY') = (X+Y+Z)(X+Y'+Z)
Step 2: Combine and remove duplicates
F = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y+Z)(X+Y'+Z) = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y'+Z)
Step 3: Map to Max Term numbers (X=MSB, Z=LSB)
• X+Y+Z → 000 → M₀
• X+Y+Z' → 001 → M₁
• X+Y'+Z → 010 → M₂
Final Answer: F = ╬аM(0,1,2) = M₀ · M₁ · M₂
6. Converting Between Min Terms and Max Terms
Golden Rule: For n variables:
• Min Terms where F=1 → Max Terms where F=0 are the remaining terms
• If F = ╬гm(1,3,5) for 3 variables (0-7), then F = ╬аM(0,2,4,6,7)
• Min Terms where F=1 → Max Terms where F=0 are the remaining terms
• If F = ╬гm(1,3,5) for 3 variables (0-7), then F = ╬аM(0,2,4,6,7)
Example: F = ╬гm(1,2) for 2 variables (X,Y)
- Total terms = 4 (0 to 3)
- F=1 for m₁, m₂ → F=0 for m₀, m₃
- ∴ F = ╬аM(0,3)
Boolean Proof: X' + Y' = (XY)' ← De Morgan's Theorem
- Left side: Max Term (OR form)
- Right side: Complement of Min Term (AND form)
7. Complete 3-Variable Example (X, Y, Z)
| Row | X | Y | Z | Min Term | m# | Max Term | M# |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | X'Y'Z' | m₀ | X+Y+Z | M₀ |
| 1 | 0 | 0 | 1 | X'Y'Z | m₁ | X+Y+Z' | M₁ |
| 2 | 0 | 1 | 0 | X'YZ' | m₂ | X+Y'+Z | M₂ |
| 3 | 0 | 1 | 1 | X'YZ | m₃ | X+Y'+Z' | M₃ |
| 4 | 1 | 0 | 0 | XY'Z' | m₄ | X'+Y+Z | M₄ |
| 5 | 1 | 0 | 1 | XY'Z | m₅ | X'+Y+Z' | M₅ |
| 6 | 1 | 1 | 0 | XYZ' | m₆ | X'+Y'+Z | M₆ |
| 7 | 1 | 1 | 1 | XYZ | m₇ | X'+Y'+Z' | M₇ |
8. Practice Exercises (With Answers)
Exercise 1
For function F(X,Y) = X'Y + XY', write:
(a) Min Term list (╬гm)
(b) Max Term list (╬аM)
✅ Click to see answer
Solution:
(a) F = X'Y + XY' = m₁ + m₂ → ╬гm(1,2)
(b) Total terms = 4. F=0 for rows 0 and 3 → ╬аM(0,3)
Exercise 2
Convert F = ╬гm(0,3,5,6) for 3 variables to POS form.
✅ Click to see answer
Solution:
Total Min Terms for 3 variables = 8 (0 to 7)
F=1 for m₀,m₃,m₅,m₆ → F=0 for m₁,m₂,m₄,m₇
∴ F = ╬аM(1,2,4,7)
Exercise 3
Prove using truth table: X' + Y' = (XY)'
✅ Click to see answer
| X | Y | XY | (XY)' | X' | Y' | X'+Y' |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Columns (XY)' and X'+Y' are identical → Proved! (This is De Morgan's Theorem)
9. Quick Summary Cheat Sheet
- ✓ Min Term = AND of all variables → Output = 1 for ONE row → Notation: m₀, m₁...
- ✓ Max Term = OR of all variables → Output = 0 for ONE row → Notation: M₀, M₁...
- ✓ SOP = Sum (OR) of Min Terms → Focus on F=1 rows
- ✓ POS = Product (AND) of Max Terms → Focus on F=0 rows
- ✓ For n variables: Total terms = 2тБ┐
- ✓ Min/Max conversion: Missing terms swap between ╬гm and ╬аM
- ✓ mс╡в = (Mс╡в)' → They are complements!
ЁЯУЪ A/L Exam Tip: When asked to "express in canonical form":
- If given SOP → Expand to Min Terms → Write ╬гm(...)
- If given POS → Expand to Max Terms → Write ╬аM(...)
Prepared with care for Sri Lankan A/L ICT Students | Practice Truth Tables Daily!
[рокூро▓ிропрой் родро░்роХ்роХроо்] роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் & роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் ро╡ிро│роХ்роХроо்
GCE A/L ICT – роЗро▓роЩ்роХை | роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯுроХро│் & рокропிро▒்роЪிроХро│ுроЯрой் роЖро░роо்рок роиிро▓ை роирог்рокро░் ро╡ро┤ிроХாроЯ்роЯி
ЁЯТб роЖроЪிро░ிропро░் роХுро▒ிрок்рокு: роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் рооро▒்ро▒ுроо் роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் роТро░ே роиாрогропрод்родிрой் роЗро░ு рокроХ்роХроЩ்роХро│். роЗро╡ро▒்ро▒ை роТро░ுрооுро▒ை роХро▒்ро▒ுроХ்роХொрог்роЯாро▓் — K-Maps, SOP/POS ро╡роЯிро╡роЩ்роХро│் роОро│ிродாроХிро╡ிроЯுроо்!
1. роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் рооро▒்ро▒ுроо் роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் роОрой்ро▒ாро▓் роОрой்рой?
роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு (рокெро░ுроХ்роХро▓் роЙро▒ுрок்рокு)
- роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு роОрой்рокродு роТро░ு рокூро▓ிропрой் роХோро╡ைропாроХுроо், роЗродிро▓் роЕройைрод்родு рооாро▒ிроХро│ுроо் роЪро░ிропாроХ роТро░ுрооுро▒ை AND (·) роЖрокро░ேроЯ்роЯро░்роХро│ாро▓் роЗрогைроХ்роХрок்рокроЯ்роЯிро░ுроХ்роХுроо்.
- AND роЖройродு рокெро░ுроХ்роХро▓ைрок் рокோро▓ (роО.роХா., X·Y = XY) роЗро░ுрок்рокродாро▓் роЗродு рокெро░ுроХ்роХро▓் роЙро▒ுрок்рокு роОрой்ро▒ுроо் роЕро┤ைроХ்роХрок்рокроЯுроХிро▒родு.
- роТро╡்ро╡ொро░ு роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроо் роЙро│்ро│ீроЯுроХро│ிрой் роЪро░ிропாроХ роТро░ு роЪேро░்роХ்роХைроХ்роХு ро╡ெро│ிропீроЯ்роЯை 1 (HIGH) роЖроХ роЙро░ுро╡ாроХ்роХுроо்.
- роЪிро▒ிроп роОро┤ுрод்родு m рооро▒்ро▒ுроо் роЪுрок்ро╕்роХிро░ிрок்роЯ் (роО.роХா., m₀, m₁) роЖро▓் роХுро▒ிроХ்роХрок்рокроЯுроо்.
роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯு (2 рооாро▒ிроХро│் X, Y):
роЪாрод்родிропрооாрой роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│்: XY, X'Y, XY', X'Y'
→ рооொрод்родроо் = 2² = 4 роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் (m₀ рооுродро▓் m₃ ро╡ро░ை)
роЪாрод்родிропрооாрой роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│்: XY, X'Y, XY', X'Y'
→ рооொрод்родроо் = 2² = 4 роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் (m₀ рооுродро▓் m₃ ро╡ро░ை)
роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு (роХூроЯ்роЯро▓் роЙро▒ுрок்рокு)
- роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு роОрой்рокродு роТро░ு рокூро▓ிропрой் роХோро╡ைропாроХுроо், роЗродிро▓் роЕройைрод்родு рооாро▒ிроХро│ுроо் роЪро░ிропாроХ роТро░ுрооுро▒ை OR (+) роЖрокро░ேроЯ்роЯро░்роХро│ாро▓் роЗрогைроХ்роХрок்рокроЯ்роЯிро░ுроХ்роХுроо்.
- OR роЖройродு роХூроЯ்роЯро▓ைрок் рокோро▓ роЗро░ுрок்рокродாро▓் роЗродு роХூроЯ்роЯро▓் роЙро▒ுрок்рокு роОрой்ро▒ுроо் роЕро┤ைроХ்роХрок்рокроЯுроХிро▒родு.
- роТро╡்ро╡ொро░ு роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроо் роЙро│்ро│ீроЯுроХро│ிрой் роЪро░ிропாроХ роТро░ு роЪேро░்роХ்роХைроХ்роХு ро╡ெро│ிропீроЯ்роЯை 0 (LOW) роЖроХ роЙро░ுро╡ாроХ்роХுроо்.
- рокெро░ிроп роОро┤ுрод்родு M рооро▒்ро▒ுроо் роЪுрок்ро╕்роХிро░ிрок்роЯ் (роО.роХா., M₀, M₁) роЖро▓் роХுро▒ிроХ்роХрок்рокроЯுроо்.
роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯு (2 рооாро▒ிроХро│் X, Y):
роЪாрод்родிропрооாрой роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│்: X+Y, X'+Y, X+Y', X'+Y'
→ рооொрод்родроо் = 2² = 4 роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் (M₀ рооுродро▓் M₃ ро╡ро░ை)
роЪாрод்родிропрооாрой роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│்: X+Y, X'+Y, X+Y', X'+Y'
→ рооொрод்родроо் = 2² = 4 роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் (M₀ рооுродро▓் M₃ ро╡ро░ை)
2. "роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ" роЙро▒ுрок்рокு рооро▒்ро▒ுроо் "роЕродிроХрокроЯ்роЪ" роЙро▒ுрок்рокு роОрой்ро▒ு роПрой்?
ЁЯза роиிройைро╡ிро▓் роХொро│்ро│ுроо் ро╡ро┤ி:
• роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = ро╡ெро│ிропீроЯு = 1 роЖроХ роЗро░ுроХ்роХ родேро╡ைропாрой роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роиிрокрои்родройை
• роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = ро╡ெро│ிропீроЯு = 0 роЖроХ роЗро░ுроХ்роХ родேро╡ைропாрой роЕродிроХрокроЯ்роЪ роиிрокрои்родройை
• роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = ро╡ெро│ிропீроЯு = 1 роЖроХ роЗро░ுроХ்роХ родேро╡ைропாрой роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роиிрокрои்родройை
• роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = ро╡ெро│ிропீроЯு = 0 роЖроХ роЗро░ுроХ்роХ родேро╡ைропாрой роЕродிроХрокроЯ்роЪ роиிрокрои்родройை
- роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு: F=1 роЖроХ роЗро░ுроХ்роХ роЗродு роЙро│்ро│ீроЯுроХро│ிрой் "роЪிро▒ிроп" (роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ) роЪேро░்роХ்роХைропாроХுроо். ро╡ேро▒ு роОрои்род роЙро│்ро│ீроЯ்роЯு рооாро▒்ро▒рооுроо் роЗродை 0 роЖроХ்роХுроо்.
- роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு: F=0 роЖроХ роЗро░ுроХ்роХ роЗродு роЙро│்ро│ீроЯுроХро│ிрой் "рокெро░ிроп" (роЕродிроХрокроЯ்роЪ) роЪேро░்роХ்роХைропாроХுроо். ро╡ேро▒ு роОрои்род роЙро│்ро│ீроЯ்роЯு рооாро▒்ро▒рооுроо் роЗродை 1 роЖроХ்роХுроо்.
3. 2 рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХாрой роЙрог்рооை роЕроЯ்роЯро╡рогை (X, Y)
роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் роЕроЯ்роЯро╡рогை
| X | Y | роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு | рокெропро░் | ро╡ெро│ிропீроЯு = 1 роОрок்рокோродு? |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | X'Y' | m₀ | X=0, Y=0 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
| 0 | 1 | X'Y | m₁ | X=0, Y=1 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
| 1 | 0 | XY' | m₂ | X=1, Y=0 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
| 1 | 1 | XY | m₃ | X=1, Y=1 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் роЕроЯ்роЯро╡рогை
| X | Y | роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு | рокெропро░் | ро╡ெро│ிропீроЯு = 0 роОрок்рокோродு? |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | X+Y | M₀ | X=0, Y=0 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
| 0 | 1 | X+Y' | M₁ | X=0, Y=1 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
| 1 | 0 | X'+Y | M₂ | X=1, Y=0 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
| 1 | 1 | X'+Y' | M₃ | X=1, Y=1 роОрой்рокродро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் |
ЁЯФС рооுроХ்роХிроп роЙро│்ро│ுрогро░்ро╡ு: роЕродே роЙро│்ро│ீроЯ்роЯு ро╡ро░ிроХ்роХு:
• роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = 1
• роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = 0
→ роЗро╡ை роиிро░рок்рокிроХро│்: mс╡в = (Mс╡в)'
• роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = 1
• роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = 0
→ роЗро╡ை роиிро░рок்рокிроХро│்: mс╡в = (Mс╡в)'
4. SOP (рокெро░ுроХ்роХро▓் роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роХூроЯ்роЯро▓்) vs POS (роХூроЯ்роЯро▓் роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் рокெро░ுроХ்роХро▓்)
| роЕроо்роЪроо் | SOP (роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு ро╡роЯிро╡роо்) | POS (роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு ро╡роЯிро╡роо்) |
|---|---|---|
| роЕроЯிрок்рокроЯை | роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ை рокропрой்рокроЯுрод்родுроХிро▒родு | роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ை рокропрой்рокроЯுрод்родுроХிро▒родு |
| роХроЯ்роЯрооைрок்рокு | AND роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் OR (роО.роХா., XY + X'Y) |
OR роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் AND (роО.роХா., (X+Y)(X'+Y)) |
| ро╡ெро│ிропீроЯ்роЯு роХро╡ройроо் | F = 1 роОрок்рокோродு роОрой்рокродை ро╡ிро╡ро░ிроХ்роХிро▒родு | F = 0 роОрок்рокோродு роОрой்рокродை ро╡ிро╡ро░ிроХ்роХிро▒родு |
| роХேройாройிроХ்роХро▓் ро╡роЯிро╡роо் | F = ╬гm(1,3) | F = ╬аM(0,2) |
5. рокроЯிрок்рокроЯிропாрой роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯுроХро│்
роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯு 1: F = XY + XZ (SOP ро╡роЯிро╡роо்)
рооாро▒ிроХро│்: X, Y, Z (3 рооாро▒ிроХро│் → 2³ = 8 роЪாрод்родிропрооாрой роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│்)
рокроЯி 1: роТро╡்ро╡ொро░ு роЙро▒ுрок்рокைропுроо் роЕройைрод்родு рооாро▒ிроХро│ைропுроо் роЪேро░்роХ்роХுроо் ро╡роХைропிро▓் ро╡ிро░ிро╡ாроХ்роХро╡ுроо்
• XY = XY(Z + Z') = XYZ + XYZ'
• XZ = XZ(Y + Y') = XYZ + XY'Z
рокроЯி 2: роЗрогைрод்родு роироХро▓்роХро│ை роиீроХ்роХро╡ுроо்
F = XYZ + XYZ' + XYZ + XY'Z = XYZ + XYZ' + XY'Z
рокроЯி 3: роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு роОрог்роХро│ுроЯрой் рокொро░ுрод்родро╡ுроо் (X=MSB, Z=LSB)
• XYZ → 111 → m₇
• XYZ' → 110 → m₆
• XY'Z → 101 → m₅
роЗро▒ுродி ро╡ிроЯை: F = ╬гm(5,6,7) = m₅ + m₆ + m₇
• XY = XY(Z + Z') = XYZ + XYZ'
• XZ = XZ(Y + Y') = XYZ + XY'Z
рокроЯி 2: роЗрогைрод்родு роироХро▓்роХро│ை роиீроХ்роХро╡ுроо்
F = XYZ + XYZ' + XYZ + XY'Z = XYZ + XYZ' + XY'Z
рокроЯி 3: роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு роОрог்роХро│ுроЯрой் рокொро░ுрод்родро╡ுроо் (X=MSB, Z=LSB)
• XYZ → 111 → m₇
• XYZ' → 110 → m₆
• XY'Z → 101 → m₅
роЗро▒ுродி ро╡ிроЯை: F = ╬гm(5,6,7) = m₅ + m₆ + m₇
роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯு 2: F = (X+Y)(X+Z) (POS ро╡роЯிро╡роо்)
роХுро▒ிрок்рокு: роЙроЩ்роХро│் ро╡ிройро╡ро▓் "(X+Y)+(X+Z)" роОрой்ро▒ு роХூро▒ிропродு — роЖройாро▓் POS роЖройродு OR роЙро▒ுрок்рокுроХро│ுроХ்роХு роЗроЯைропே AND (·) роРрок் рокропрой்рокроЯுрод்родுроХிро▒родு, OR (+) роЕро▓்ро▓.
рокроЯி 1: роТро╡்ро╡ொро░ு роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокைропுроо் роЕройைрод்родு рооாро▒ிроХро│ைропுроо் роЪேро░்роХ்роХுроо் ро╡роХைропிро▓் ро╡ிро░ிро╡ாроХ்роХро╡ுроо்
• (X+Y) = (X+Y+ZZ') = (X+Y+Z)(X+Y+Z')
• (X+Z) = (X+Z+YY') = (X+Y+Z)(X+Y'+Z)
рокроЯி 2: роЗрогைрод்родு роироХро▓்роХро│ை роиீроХ்роХро╡ுроо்
F = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y+Z)(X+Y'+Z) = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y'+Z)
рокроЯி 3: роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு роОрог்роХро│ுроЯрой் рокொро░ுрод்родро╡ுроо் (X=MSB, Z=LSB)
• X+Y+Z → 000 → M₀
• X+Y+Z' → 001 → M₁
• X+Y'+Z → 010 → M₂
роЗро▒ுродி ро╡ிроЯை: F = ╬аM(0,1,2) = M₀ · M₁ · M₂
• (X+Y) = (X+Y+ZZ') = (X+Y+Z)(X+Y+Z')
• (X+Z) = (X+Z+YY') = (X+Y+Z)(X+Y'+Z)
рокроЯி 2: роЗрогைрод்родு роироХро▓்роХро│ை роиீроХ்роХро╡ுроо்
F = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y+Z)(X+Y'+Z) = (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X+Y'+Z)
рокроЯி 3: роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு роОрог்роХро│ுроЯрой் рокொро░ுрод்родро╡ுроо் (X=MSB, Z=LSB)
• X+Y+Z → 000 → M₀
• X+Y+Z' → 001 → M₁
• X+Y'+Z → 010 → M₂
роЗро▒ுродி ро╡ிроЯை: F = ╬аM(0,1,2) = M₀ · M₁ · M₂
6. роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் рооро▒்ро▒ுроо் роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ுроХ்роХு роЗроЯைропே рооாро▒்ро▒ுродро▓்
родроЩ்роХ ро╡ிродி: n рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХு:
• F=1 роЖроХ роЙро│்ро│ роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் → F=0 роЖроХ роЙро│்ро│ роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் рооீродрооுро│்ро│ роЙро▒ுрок்рокுроХро│்
• F = ╬гm(1,3,5) роОрой்ро▒ாро▓் 3 рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХு (0-7), рокிрой்ройро░் F = ╬аM(0,2,4,6,7)
• F=1 роЖроХ роЙро│்ро│ роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் → F=0 роЖроХ роЙро│்ро│ роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் рооீродрооுро│்ро│ роЙро▒ுрок்рокுроХро│்
• F = ╬гm(1,3,5) роОрой்ро▒ாро▓் 3 рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХு (0-7), рокிрой்ройро░் F = ╬аM(0,2,4,6,7)
роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯு: F = ╬гm(1,2) роОрой்рокродு 2 рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХு (X,Y)
- рооொрод்род роЙро▒ுрок்рокுроХро│் = 4 (0 рооுродро▓் 3 ро╡ро░ை)
- F=1 роЖроХ роЙро│்ро│родு m₁, m₂ роХ்роХு → F=0 роЖроХ роЙро│்ро│родு m₀, m₃ роХ்роХு
- ∴ F = ╬аM(0,3)
рокூро▓ிропрой் роиிро░ூрокрогроо்: X' + Y' = (XY)' ← роЯி рооாро░்роХройிрой் родேро▒்ро▒роо்
- роЗроЯродு рокроХ்роХроо்: роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு (OR ро╡роЯிро╡роо்)
- ро╡ро▓родு рокроХ்роХроо்: роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокிрой் роиிро░рок்рокி (AND ро╡роЯிро╡роо்)
7. рооுро┤ுрооைропாрой 3-рооாро▒ி роОроЯுрод்родுроХ்роХாроЯ்роЯு (X, Y, Z)
| ро╡ро░ி | X | Y | Z | роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு | m# | роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு | M# |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | X'Y'Z' | m₀ | X+Y+Z | M₀ |
| 1 | 0 | 0 | 1 | X'Y'Z | m₁ | X+Y+Z' | M₁ |
| 2 | 0 | 1 | 0 | X'YZ' | m₂ | X+Y'+Z | M₂ |
| 3 | 0 | 1 | 1 | X'YZ | m₃ | X+Y'+Z' | M₃ |
| 4 | 1 | 0 | 0 | XY'Z' | m₄ | X'+Y+Z | M₄ |
| 5 | 1 | 0 | 1 | XY'Z | m₅ | X'+Y+Z' | M₅ |
| 6 | 1 | 1 | 0 | XYZ' | m₆ | X'+Y'+Z | M₆ |
| 7 | 1 | 1 | 1 | XYZ | m₇ | X'+Y'+Z' | M₇ |
8. рокропிро▒்роЪி рокропிро▒்роЪிроХро│் (ро╡ிроЯைроХро│ுроЯрой்)
рокропிро▒்роЪி 1
F(X,Y) = X'Y + XY' роЪாро░்рокுроХ்роХு, роОро┤ுродро╡ுроо்:
(a) роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு рокроЯ்роЯிропро▓் (╬гm)
(b) роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு рокроЯ்роЯிропро▓் (╬аM)
✅ ро╡ிроЯைропைрок் рокாро░்роХ்роХ роХிро│ிроХ் роЪெроп்ропро╡ுроо்
родீро░்ро╡ு:
(a) F = X'Y + XY' = m₁ + m₂ → ╬гm(1,2)
(b) рооொрод்род роЙро▒ுрок்рокுроХро│் = 4. F=0 роЖроХ роЙро│்ро│родு ро╡ро░ி 0 рооро▒்ро▒ுроо் 3 роХ்роХு → ╬аM(0,3)
рокропிро▒்роЪி 2
3 рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХு F = ╬гm(0,3,5,6) роР POS ро╡роЯிро╡род்родிро▒்роХு рооாро▒்ро▒ро╡ுроо்.
✅ ро╡ிроЯைропைрок் рокாро░்роХ்роХ роХிро│ிроХ் роЪெроп்ропро╡ுроо்
родீро░்ро╡ு:
3 рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХாрой рооொрод்род роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│் = 8 (0 рооுродро▓் 7 ро╡ро░ை)
F=1 роЖроХ роЙро│்ро│родு m₀,m₃,m₅,m₆ роХ்роХு → F=0 роЖроХ роЙро│்ро│родு m₁,m₂,m₄,m₇ роХ்роХு
∴ F = ╬аM(1,2,4,7)
рокропிро▒்роЪி 3
роЙрог்рооை роЕроЯ்роЯро╡рогைропைрок் рокропрой்рокроЯுрод்родி роиிро░ூрокிроХ்роХро╡ுроо்: X' + Y' = (XY)'
✅ ро╡ிроЯைропைрок் рокாро░்роХ்роХ роХிро│ிроХ் роЪெроп்ропро╡ுроо்
| X | Y | XY | (XY)' | X' | Y' | X'+Y' |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
(XY)' рооро▒்ро▒ுроо் X'+Y' роиெроЯுро╡ро░ிроЪைроХро│் роТро░ே рооாродிро░ிропாроХ роЙро│்ро│рой → роиிро░ூрокிроХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு! (роЗродு роЯி рооாро░்роХройிрой் родேро▒்ро▒роо்)
9. ро╡ிро░ைро╡ாрой роЪுро░ுроХ்роХ роЪீроЯ்роЯு
- ✓ роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = роЕройைрод்родு рооாро▒ிроХро│ிрой் AND → роТро░ு ро╡ро░ிроХ்роХு ро╡ெро│ிропீроЯு = 1 → роХுро▒ிропீроЯு: m₀, m₁...
- ✓ роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокு = роЕройைрод்родு рооாро▒ிроХро│ிрой் OR → роТро░ு ро╡ро░ிроХ்роХு ро╡ெро│ிропீроЯு = 0 → роХுро▒ிропீроЯு: M₀, M₁...
- ✓ SOP = роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роХூроЯ்роЯро▓் (OR) → F=1 ро╡ро░ிроХро│ிро▓் роХро╡ройроо்
- ✓ POS = роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் рокெро░ுроХ்роХро▓் (AND) → F=0 ро╡ро░ிроХро│ிро▓் роХро╡ройроо்
- ✓ n рооாро▒ிроХро│ுроХ்роХு: рооொрод்род роЙро▒ுрок்рокுроХро│் = 2тБ┐
- ✓ роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ/роЕродிроХрокроЯ்роЪ рооாро▒்ро▒роо்: ╬гm рооро▒்ро▒ுроо் ╬аM роЗроЯைропே роХாрогாрооро▓் рокோрой роЙро▒ுрок்рокுроХро│் рооாро▒்ро▒рок்рокроЯுроХிрой்ро▒рой
- ✓ mс╡в = (Mс╡в)' → роЗро╡ை роиிро░рок்рокிроХро│்!
ЁЯУЪ A/L родேро░்ро╡ு роЙродро╡ிроХ்роХுро▒ிрок்рокு: "роХேройாройிроХ்роХро▓் ро╡роЯிро╡род்родிро▓் ро╡ெро│ிрок்рокроЯுрод்родро╡ுроо்" роОрой்ро▒ு роХேроЯ்роХрок்рокроЯ்роЯாро▓்:
- SOP роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯிро░ுрои்родாро▓் → роХுро▒ைрои்родрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ுроХ்роХு ро╡ிро░ிро╡ாроХ்роХро╡ுроо் → ╬гm(...) роОрой роОро┤ுродро╡ுроо்
- POS роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯிро░ுрои்родாро▓் → роЕродிроХрокроЯ்роЪ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ுроХ்роХு ро╡ிро░ிро╡ாроХ்роХро╡ுроо் → ╬аM(...) роОрой роОро┤ுродро╡ுроо்
роЗро▓роЩ்роХை A/L ICT рооாрогро╡ро░்роХро│ுроХ்роХாроХ роХро╡ройрооாроХ родропாро░ிроХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு | родிройрооுроо் роЙрог்рооை роЕроЯ்роЯро╡рогைроХро│ை рокропிро▒்роЪி роЪெроп்ропро╡ுроо்!
